[논문 리뷰] Faithful actions of automorphisms on the space of orderings of a group

Thomas Koberda|arXiv (Cornell University)|2010. 11. 12.

Geometric and Algebraic Topology참고 문헌 19인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 유한 생성된 잔여 토피컬 자유 노일레탕트 군의 자기동형군이 그의 왼쪽 불변 순서의 공간에 충실하게 작용함을 확립한다. 위상수학적 및 대수적 기법을 사용하여, 양의 원소들 구조와 호메오모르피즘 군으로의 준동형사상 등을 고려함으로써, 저자는 작용이 단사임을 증명하며, 이 결과를 매핑 클래스 군과 그로모프 경계를 가진 하이퍼볼릭 군으로 확장한다.

ABSTRACT

In this article we study the space of left- and bi-invariant orderings on a torsion-free nilpotent group $G$. We will show that generally the set of such orderings is equipped with a faithful action of the automorphism group of $G$. We prove a result which allows us to establish the same conclusion when $G$ is assumed to be merely residually torsion-free nilpotent. In particular, we obtain faithful actions of mapping class groups of surfaces. We will draw connections between the structure of orderings on residually torsion-free nilpotent, hyperbolic groups and their Gromov boundaries, and we show that in those cases a faithful $\Aut(G)$-action on the boundary is equivalent to a faithful $\Aut(G)$ action on the space of left--invariant orderings.

연구 동기 및 목표

• 잔여 토피컬 자유 노일레탕트 군의 자기동형군이 그의 왼쪽 불변 순서 공간에 충실하게 작용함을 확립하는 것.
• 자기동형군 작용이 경계로의 작용과 연결된 하이퍼볼릭 군에 대해 이 결과를 확장함으로써, 그로모프 경계를 가진 하이퍼볼릭 군으로의 일반화를 이루는 것.
• 순서의 구조와 자기동형군의 잔여 유한성 성질 간의 관계를 탐색하는 것.
• 외부 자기동형군이 이중 불변 순서 공간에 충실하게 작용하는 경우를 연구하며, 특히 오른쪽 각형 아르틴 군에서의 상황을 다루는 것.
• 일반적으로 충실한 작용이 성립하지 않는다는 반례를 제시하는 것, 예를 들어 클라인 병의 기본군에서의 경우.

제안 방법

• 왼쪽 불변 순서의 공간을, 다음 조건을 만족하는 양의 원소들(positive cones)을 통해 칸토어 공간의 닫힌 부분집합으로 정의한다: 역원과의 불균형성, 곱에 대한 닫힘성, 비항등 원소들에 대한 역원과의 합집합 덮음.
• G가 가산일 경우, {0,1}^G 위의 곱위상으로 순서 공간을 장비하여, 이는 캔터 집합과 위상동형인 컴팩트 하우스도르프 공간이 된다.
• 자기동형군 Aut(G)의 자연스러운 작용을 순서를 자동형사상에 의한 역상으로 당김을 통해 정의한다: g ≤_φ h iff φ(g) ≤ φ(h), 이는 군 준동형사상 ψ_a: Aut(G) → Homeo(LO(G))를 유도한다.
• 비자명한 자기동형사상이 양의 원소들에 대한 비자명한 순열을 유도함을 보여, 잔여 토피컬 자유 노일레탕트 구조를 이용하여 이 작용이 충실함을 증명한다.
• 특히 H₁(G, ℚ) 위에서의 호모로지 표현을 사용하여, 외부 자기동형군이 아벨화에 충실하게 작용하는 경우에 충실함을 보인다.
• 하이퍼볼릭 군이 잔여 토피컬 자유 노일레탕트일 경우, Aut(G)가 그로모프 경계에 충실하게 작용하는 것과 LO(G)에 충실하게 작용하는 것이 동치임을 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유한 생성 군 G에 대해, Aut(G)가 왼쪽 불변 순서 공간 LO(G)에 충실하게 작용하는 조건은 무엇인가요?
• RQ2 잔여 토피컬 자유 노일레탕트 군의 순서의 구조는 그들의 그로모프 경계의 위상과 어떻게 관련이 있나요?
• RQ3 Out(G)가 O(G)에 충실하게 작용할 수 있으며, 이러한 작용이 성립하는 조건은 무엇인가요?
• RQ4 아벨화는 외부 자기동형군의 순서에 대한 충실한 작용을 결정하는 데 어떤 역할을 하나요?
• RQ5 Aut(G)가 LO(G)에 충실하게 작용하지 않는 군이 존재하는가, 그리고 이러한 실패의 원인은 어떤 구조적 특성에 기인하는가?

주요 결과

• 모든 유한 생성 잔여 토피컬 자유 노일레탕트 군 G에 대해, ψ_a: Aut(G) → Homeo(LO(G))의 사상은 단사적이며, 이는 Aut(G)가 LO(G)에 충실하게 작용함을 증명한다.
• 이 결과는 표면에 마킹된 점이 있는 매핑 클래스 군과 자유군의 자기동형군으로 확장되며, 이들 모두가 잔여 토피컬 자유 노일레탕트 성질을 갖는다.
• 하이퍼볼릭 군이 잔여 토피컬 자유 노일레탕트일 경우, Aut(G)가 그로모프 경계에 충실하게 작용하는 것과 LO(G)에 충실하게 작용하는 것은 동치이다.
• 일반적인 오른쪽 각형 아르틴 군 A_Γ에서는, 외부 자기동형군이 아벨화에 충실하게 작용하며, 따라서 O(G)에 충실하게 작용한다. 이는 Out(A_Γ) → Aut(H₁(A_Γ, ℚ))의 준동형사상이 충실하기 때문이다.
• 클라인 병의 기본군 K는 오직 네 가지의 왼쪽 불변 순서만을 가지며, Out(K) ≅ ℤ/2ℤ × ℤ/2ℤ 이므로, 자기동형군은 LO(K)에 충실하게 작용할 수 없다. 이는 잔여 토피컬 자유 노일레탕트 조건이 필수적임을 보여준다.
• 순서 공간 LO(G)는 곱위상에서 {0,1}^G의 닫힌 부분집합이며, 양의 원소들을 정의하는 조건들은 이 위상에서 닫혀 있으므로, LO(G)는 컴팩트 하우스도르프 공간임이 보장된다.