[논문 리뷰] Fake Z

Anatoly Dymarsky, Rohit R. Kalloor|arXiv (Cornell University)|2022. 11. 28.

Algebraic structures and combinatorial models인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 모든 모듈러 브로드캐스트 제약 조건—모듈러 불변성, 정수 계수의 특성 계수, 진공 유일성—을 만족하지만 실제로는 어떤 유니타리 2차원 CFT나 Narain 이론의 분할 함수가 되지 않는 여섯 개의 '가짜' 분할 함수 $Z(\tau,\bar{\tau})$를 규명한다. 격자 수색 및 데타 함수 기법을 사용하여, 네 개는 유니타리 CFT와 호환되지 않음을 증명하고, 나머지 두 개는 결론을 내릴 수 없음을 드러내며, 이는 중요한 제약 조건을 드러낸다: 모든 모듈러 브로드캐스트 해답이 실제 CFT에 대응하지는 않는다.

ABSTRACT

Recently introduced connections between quantum codes and Narain CFTs provide a simple ansatz to express a modular-invariant function $Z(τ,\bar τ)$ in terms of a multivariate polynomial satisfying certain additional properties. These properties include algebraic identities, which ensure modular invariance of $Z(τ,\bar τ)$, and positivity and integrality of coefficients, which imply positivity and integrality of the $\mathfrak{u}(1)^n imes \mathfrak{u}(1)^n$ character expansion of $Z(τ,\bar τ)$. Such polynomials come naturally from codes, in the sense that each code of a certain type gives rise to the so-called enumerator polynomial, which automatically satisfies all necessary properties, while the resulting $Z(τ,\bar τ)$ is the partition function of the code CFT -- the Narain theory unambiguously constructed from the code. Yet there are also ``fake'' polynomials satisfying all necessary properties, that are not associated with any code. They lead to $Z(τ,\bar τ)$ satisfying all modular bootstrap constraints (modular invariance and positivity and integrality of character expansion), but whether they are partition functions of any actual CFT is unclear. We consider the group of the six simplest fake polynomials and denounce the corresponding $Z$'s as fake: we show that none of them is the torus partition function of any Narain theory. Moreover, four of them are not partition functions of any unitary 2d CFT; our analysis for other two is inconclusive. Our findings point to an obvious limitation of the modular bootstrap approach: not every solution of the full set of torus modular bootstrap constraints is due to an actual CFT. In the paper we consider six simple examples, keeping in mind that thousands more can be constructed.

연구 동기 및 목표

• 모듈러 브로드캐스트 제약 조건을 모두 만족하지만 실제로는 어떤 CFT와도 관련이 없는 가짜 분할 함수 $Z(\tau,\bar{\tau})$를 규명하고 분석하는 것.
• 모듈러 브로드캐스트 제약 조건의 모든 해답이 실제로 존재하는 2차원 CFT에 대응한다는 가정을 도전하기 위해, 그러한 해답이 물리적으로 실현 가능하지 않음을 보여주는 것.
• 이 가짜 $Z$들이 라티스 이론 및 데타 함수 기법을 통해 Narain 콪팩티피케이션 또는 유니타리 CFT에서 유래될 수 있는지 조사하는 것.
• 모듈러 브로드캐스트 접근법의 한계를 명확히 하기 위해, 제약 조건은 만족하지만 실제 CFT가 존재하지 않는 구체적인 반례를 제시하는 것.

제안 방법

• 저자들은 코드 유사 구조에서 유도된 간단한 여섯 개의 가짜 수식표 다항식을 분석하며, 이들은 어떤 안정자 코드와도 관련이 없다.
• 격자 수색 기법을 사용하여, 가짜 $Z$들을 토러스 분할 함수로 실현할 수 있는 모든 소형 랭크의 정수 격자를 체계적으로 구축한다.
• 일반화된 데타 함수를 적용하여 후보 Narain 이론의 상태 스펙트럼을 계산하고, 모듈러 불변성 및 정수성 조건을 검증한다.
• 지수 2 부분 격자 및 쌍대 벡터의 구조를 활용하여, 기초 라티스의 가능한 데타 함수에 대한 제약 조건을 유도한다.
• 공식 $\Theta_{\partial_v\mathcal{M}} = \frac{1}{2}(\Theta_{\mathcal{M}}(\cdots,1^v) + \Theta_{\mathcal{M}}(\cdots,(-1)^v))$를 통해 부분 격자의 데타 함수를 직접 계산한다.
• 기본으로 알려진 $\mathbb{Z}^n$의 데타 함수 $\Theta_{\mathbb{Z}^n} = \prod_{i=1}^n \theta_3(\prod_j \xi_j^{(w_j)_i}, \varrho)$를 사용하여 더 복잡한 격자를 재귀적으로 구성할 수 있다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 여섯 개의 가짜 $Z$들이 어떤 Narain 콱팩티피케이션의 토러스 분할 함수로도 실현될 수 있는가?
• RQ2 모듈러 불변성과 정수 계수의 특성 분해를 만족함에도 불구하고, 가짜 $Z$ 중 일부가 유니타리 2차원 CFT와 호환되는가?
• RQ3 가짜 $Z$들이 CFT 분할 함수에 필요한 조건을 만족하는 어떤 정수 격자와도 대응하는가?
• RQ4 일반화된 데타 함수는 실제 CFT와 가짜 모듈러 브로드캐스트 해답을 어떻게 구분하는가?
• RQ5 이러한 가짜 $Z$들이 연속적인 가중치 가중치를 가진 가족을 이루며, 모든 매개변수에서 실현 불가능한가?

주요 결과

• 가짜 $Z$의 네 개는 라티스 실현 및 데타 함수 스펙트럼의 비일관성으로 인해 어떤 유니타리 2차원 CFT의 분할 함수로도 불가능하다고 배제된다.
• 가짜 $Z$의 여섯 개 모두는 어떤 Narain 이론의 분할 함수로도 실현될 수 없다. 이는 필요한 모듈러 불변성 및 정수성 조건을 만족하는 정수 격자가 존재하지 않기 때문이다.
• 가짜 $Z$는 모든 필요한 대수적 항등식과 계수 제약 조건을 만족하고도, 여전히 어떤 코드로부터도 유래되지 않아, CFT를 구성하는 코드 기반 추측에 격차가 있음을 드러낸다.
• 남은 두 개의 가짜 $Z$에 대해서는 분석이 모호하다: 모순은 발견되지 않았지만, 실현도 이루어지지 않았다.
• 결과적으로, 모듈러 브로드캐스트만으로는 실제 물리적 CFT의 존재를 보장할 수 없음을 보여주며, 해답이 실제 이론에 대응하지 않을 수 있음을 시사한다.
• 논문은 $r$에 의해 매개변수화된 연속적인 가짜 $Z$의 가족이 존재함을 확인하였으며, $r=1$에서 18개의 서로 다른 가짜 다항식이 존재함을 보여, 문제가 소수의 극단적 케이스가 아니라 일반적인 현상임을 입증한다.