[논문 리뷰] Faltings heights of big CM cycles and derivatives of L-functions

Jan Hendrik Bruinier, Stephen S. Kudla외 1명|arXiv (Cornell University)|2010. 08. 10.

Advanced Algebra and Geometry참고 문헌 32인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 서명 (2d,2)를 가진 이차 공간에 관련된 정수형 유형의 슈임라 다양체에서 큰 CM 사이클의 팔링스 높이에 대한 공식을, 조화 강한 마이어스 형식의 정규화된 스트레스 릿지에 의해 수립한다. 이는 비일관 에이젠스타이니 급수의 중심 도함수와 랭킨-셀버그 L함수를 자동형 녹색 함수의 CM 값과 연결하며, 작은 CM 사이클에 대한 그로스-자이저 공식을 큰 CM 사이클로 일반화하고, CM 아벨 곡면에 대한 콜름츠의 추측의 특수한 경우를 검증한다.

ABSTRACT

We give a formula for the values of automorphic Green functions on the special rational 0-cycles (big CM points) attached to certain maximal tori in the Shimura varieties associated to rational quadratic spaces of signature (2d,2). Our approach depends on the fact that the Green functions in question are constructed as regularized theta lifts of harmonic weak Mass forms, and it involves the Siegel-Weil formula and the central derivatives of incoherent Eisenstein series for totally real fields. In the case of a weakly holomorphic form, the formula is an explicit combination of quantities obtained from the Fourier coefficients of the central derivative of the incoherent Eisenstein series. In the case of a general harmonic weak Maass form, there is an additional term given by the central derivative of a Rankin-Selberg type convolution.

연구 동기 및 목표

• 서명 (2d,2)를 가진 슈임라 다양체에서 최대 토리에 관련된 '큰' CM 사이클로 그로스-자이저 인수분해 공식을 확장하는 것.
• 정규화된 스트레스 릿지에 의해 팔링스 높이와 L함수 도함수 사이의 직접적 연결을 수립하는 것.
• 조화 강한 마이어스 형식을 사용하여 작고 작은 CM 사이클(복소 이차 수체)의 결과를 큰 CM 사이클(전체 실수체의 차수 d+1)으로 일반화하는 것.
• 산술적 교차 이론을 통해 CM 아벨 곡면에 대한 추측 5.5와 콜름츠 추측의 특수한 경우를 검증하는 것.

제안 방법

• 조화 강한 마이어스 형식의 정규화된 스트레스 릿지로 슈임라 다양체에서 자동형 녹색 함수를 구성하는 것.
• 전체 실수체에 대한 비일관 에이젠스타이니 급수의 중심 도함수와 시겔-바일 공식을 적용하여 녹색 함수 값과 L함수 도함수 사이의 관계를 설정하는 것.
• 약한 정칙 형식의 경우, CM 값은 비일관 에이젠스타이니 급수의 중심 도함수의 푸리에 계수들의 선형 조합으로 표현된다.
• 일반적인 조화 강한 마이어스 형식의 경우, 랭킨-셀버그 유형의 콘볼루션의 중심 도함수로부터 추가 항이 발생한다.
• 페테르손 메트릭 정규화를 활용하여 녹색 함수 값으로써 CM 사이클의 팔링스 높이를 정의하는 것.
• 토리컬 콪팩티피케이션에서의 산술적 교차 이론과 팔링스 높이를 조합하여 CM 사이클 교차에 대한 명시적 공식을 도출하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 서명 (2d,2)를 가진 슈임라 다양체에서 큰 CM 사이클의 팔링스 높이는 L함수 도함수로 어떻게 표현될 수 있는가?
• RQ2 소규모 CM 사이클에 사용된 정규화된 스트레스 릿지 방법을 최대 토리에 관련된 큰 CM 사이클로 확장할 수 있는가?
• RQ3 비일관 에이젠스타이니 급수의 중심 도함수와 자동형 녹색 함수의 CM 값 사이의 정확한 산술적 관계는 무엇인가?
• RQ4 큰 CM 사이클에 대한 공식은 특수한 경우에 그로스-자이저 및 콜름츠 추측을 복원하거나 일반화하는가?
• RQ5 비일관 에이젠스타이니 급수의 중심 도함수의 푸리에 계수는 CM 사이클의 팔링스 높이와 어떻게 관련이 있는가?

주요 결과

• 큰 CM 사이클의 팔링스 높이는 비일관 에이젠스타이니 급수의 중심 도함수와 랭킨-셀버그 콘볼루션 항을 포함하는 공식으로 주어진다.
• 약한 정칙 형식의 경우, CM 값은 비일관 에이젠스타이니 급수의 중심 도함수의 푸리에 계수들의 선형 조합이며, L함수의 중심 도함수에 의해 스케일링된다.
• CM 체가 4차이며 판별식 D ≡ 1 mod 4이고 제곱 자유인 $ ilde{D}$를 가질 경우, 상수 $c'(E) = 1$이 되어 공식이 알려진 결과와 일치한다.
• 공식은 [BY1, 정리 1.4]를 다중성 인자까지 복원하여 힐베르트 모듈라 표면에 대한 이전 작업과의 일관성을 확인한다.
• 실수 곱승을 가진 아벨 곡면의 모듈리 공간의 콕팍티피케이션에서의 산술적 교차 페어링은 $c^+(0)$과 표준 L함수의 도함수를 포함하는 정확한 표현을 제공한다.
• 결과는 추측 5.5의 특수한 경우를 검증하며, [HY]와 정리 6.8의 보완을 통해 CM 아벨 곡면에 대한 콜름츠 추측의 전체 해법을 뒷받침한다.