[논문 리뷰] Fast Algorithms at Low Temperatures via Markov Chains

Zongchen Chen, Andreas Galanis외 4명|arXiv (Cornell University)|2019. 01. 01.

Markov Chains and Monte Carlo Methods참고 문헌 26인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 유계 차수의 확산 그래프에서 저온 스핀 시스템의 효율적 샘플링과 근사 카운팅을 위한 새로운 마르코프 체인 알고리즘을 제안한다. 문제를 폴리머 모델로 변환하고 폴리머 무게의 지수 감쇠 조건 하에서 빠른 혼합성을 증명함으로써, 저온에서의 이점형 푸츠 모델에 대해 O(n log n)-시간 샘플링을 달성하였으며, 이는 이전의 n^{O(log Δ)}-시간 알고리즘보다 크게 향상된 결과이다.

ABSTRACT

For spin systems, such as the hard-core model on independent sets weighted by fugacity lambda>0, efficient algorithms for the associated approximate counting/sampling problems typically apply in the high-temperature region, corresponding to low fugacity. Recent work of Jenssen, Keevash and Perkins (2019) yields an FPTAS for approximating the partition function (and an efficient sampling algorithm) on bounded-degree (bipartite) expander graphs for the hard-core model at sufficiently high fugacity, and also the ferromagnetic Potts model at sufficiently low temperatures. Their method is based on using the cluster expansion to obtain a complex zero-free region for the partition function of a polymer model, and then approximating this partition function using the polynomial interpolation method of Barvinok. We present a simple discrete-time Markov chain for abstract polymer models, and present an elementary proof of rapid mixing of this new chain under sufficient decay of the polymer weights. Applying these general polymer results to the hard-core and ferromagnetic Potts models on bounded-degree (bipartite) expander graphs yields fast algorithms with running time O(n log n) for the Potts model and O(n^2 log n) for the hard-core model, in contrast to typical running times of n^{O(log Delta)} for algorithms based on Barvinok’s polynomial interpolation method on graphs of maximum degree Delta. In addition, our approach via our polymer model Markov chain is conceptually simpler as it circumvents the zero-free analysis and the generalization to complex parameters. Finally, we combine our results for the hard-core and ferromagnetic Potts models with standard Markov chain comparison tools to obtain polynomial mixing time for the usual spin system Glauber dynamics restricted to even and odd or "red" dominant portions of the respective state spaces.

연구 동기 및 목표

• 기존 마르코프 체인(예: 글라우버 다이내믹스)이 느리게 혼합되는 것으로 알려진 저온 스핀 시스템에서의 근사 카운팅 및 샘플링을 위한 더 빠른 알고리즘 개발.
• 지역 마르코프 체인이 저온 영역에서 느리게 혼합되는 문제를 폴리머 모델과 클러스터 전개 기법을 활용하여 극복.
• 폴리머 무게의 지수 감쇠 조건 하에서 빠른 혼합성을 확보하는 폴리머 구성에 기반한 새로운 마르코프 체인 설계.
• 이분 그래프 기반의 확산 그래프에서 저온 영역에서 하드코어 및 푸츠 모델에 대해 다항시간 샘플링 및 카운팅 알고리즘 수립.

제안 방법

• 원래의 스핀 시스템을 기저 상태에서의 이탈을 나타내는 폴리머로 나타내는 추상적 폴리머 모델로 변환.
• 단일 갱신 이동을 사용하는 폴리머 구성에 대한 마르코프 체인 정의; 단일 갱신 호환성을 보장하기 위해 깊이 우선 탐색(DFS) 순서 사용.
• 폴리머 무게가 크기와 함께 지수 감쇠할 경우, 마르코프 체인의 빠른 혼합성을 증명; 이는 매개변수 τ를 사용한 폴리머 샘플링 조건으로 수식화.
• ε-근사 샘플링 및 카운팅을 달성하기 위해 크기 ≤ M인 절단된 폴리머 모델을 사용; M은 분할 함수 무게의 1-ε 비율을 포괄하도록 선택.
• 마르코프 체인 비교 기법을 적용하여, 저에너지 영역에 제한된 글라우버 다이내믹스도 다항시간 내에 혼합됨을 보임.
• 클러스터 전개와 테일러 급수 근사법을 활용해 분할 함수를 폴리머 기여도의 형태로 표현함으로써 효율적 계산 가능.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 지역 다이내믹스가 느리게 혼합되는 저온 스핀 시스템에서 마르코프 체인이 빠르게 혼합되도록 만들 수 있는가?
• RQ2 폴리머 구성에 대한 마르코프 체인의 빠른 혼합성을 보장하는 폴리머 무게의 조건은 무엇인가?
• RQ3 확산 그래프에서 저온 푸츠 및 하드코어 모델에 대해 O(n log n)-시간 샘플링 알고리즘을 달성할 수 있는가?
• RQ4 폴리머 모델을 어떻게 활용하여 저온 영역에서 효율적인 근사 카운팅 및 샘플링 알고리즘을 설계할 수 있는가?
• RQ5 분할 함수를 ε-근사로 포괄하기 위해 필요한 최소 절단 크기 M는 얼마인가?

주요 결과

• 폴리머 무게가 지수 감쇠할 경우, 제안된 폴리머 구성에 기반한 마르코프 체인은 빠르게 혼합되며, 폴리머 샘플링 조건 하에서 혼합 시간이 O(n log n) 이내로 유계됨.
• 유계 차수의 확산 그래프에서 저온 이점형 푸츠 모델에 대해 O(n log n)-시간 샘플링 알고리즘이 달성됨.
• λ ≥ (6∆)^{3+6/α} 조건을 만족하는 이분 α-확산 그래프에서 하드코어 모델에 대해, ε-근사 카운팅 및 샘플링 알고리즘이 M = Θ(log(n/ε)) 절단 크기로 O(n log n) 시간 내에 실행됨.
• M = 3(2+α) log(4n/ε)/(2α log λ)로 설정된 절단 폴리머 모델은 분할 함수 무게의 1-ε 비율을 포괄함.
• 폴리머 기반 마르코프 체인이 빠르게 혼합하므로, 저에너지 구성에 제한된 글라우버 다이내믹스도 다항시간 내에 혼합됨.
• 결과는 하드코어 및 푸츠 모델 모두에 적용되며, 확산 그래프에서 저온 영역에서 처음으로 거의 선형 시간 알고리즘을 제공함.