[논문 리뷰] Fast and Deterministic Approximations for $k$-Cut

Quanrud, Kent|arXiv (Cornell University)|2018. 07. 18.

Complexity and Algorithms in Graphs참고 문헌 32인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 k-cut의 새로운 선형 프로그래밍(선형 프로그래밍) 근사화 기반의 보다 효율적인 방법을 제안한다. 이 방법은 결정론적이고 거의 선형 시간 복잡도를 가지며, (2 + ε)-근사 알고리즘을 제공한다. 이 알고리즘은 선형 프로그래밍 근사화의 거의 선형 시간 (1 + ε)-근사화와 최소 스패닝 포레스트 및 동적 트리 기반의 그레디컷 라운딩 절차를 결합하여, O(m log³n / ε²)의 결정론적 실행 시간을 달성한다. 이는 이전의 랜덤화된 방법의 효율성과 동일하며, 근사율은 약 2에 매우 가깝다.

ABSTRACT

In an undirected graph, a k-cut is a set of edges whose removal breaks the graph into at least k connected components. The minimum weight k-cut can be computed in n^O(k) time, but when k is treated as part of the input, computing the minimum weight k-cut is NP-Hard [Goldschmidt and Hochbaum, 1994]. For poly(m,n,k)-time algorithms, the best possible approximation factor is essentially 2 under the small set expansion hypothesis [Manurangsi, 2017]. Saran and Vazirani [1995] showed that a (2 - 2/k)-approximately minimum weight k-cut can be computed via O(k) minimum cuts, which implies a O~(km) randomized running time via the nearly linear time randomized min-cut algorithm of Karger [2000]. Nagamochi and Kamidoi [2007] showed that a (2 - 2/k)-approximately minimum weight k-cut can be computed deterministically in O(mn + n^2 log n) time. These results prompt two basic questions. The first concerns the role of randomization. Is there a deterministic algorithm for 2-approximate k-cuts matching the randomized running time of O~(km)? The second question qualitatively compares minimum cut to 2-approximate minimum k-cut. Can 2-approximate k-cuts be computed as fast as the minimum cut - in O~(m) randomized time? We give a deterministic approximation algorithm that computes (2 + eps)-minimum k-cuts in O(m log^3 n / eps^2) time, via a (1 + eps)-approximation for an LP relaxation of k-cut.

연구 동기 및 목표

• 2-근사 k-cut에 대한 랜덤화된 알고리즘과 결정론적 알고리즘 간의 격차를 좁히기 위해, 거의 선형 시간 복잡도를 가지는 결정론적 알고리즘을 달성하는 것.
• 최소 컷과 동일한 속도로 2-근사 k-cut을 계산할 수 있는지 여부를 밝히기 위해, k에 대한 선형 의존성을 제거하는 것.
• 랜덤화된 k-cut 알고리즘의 실행 시간을 유지하면서도 근사율을 유지하는 결정론적 대안을 제공하는 것.
• 기존의 최고의 결정론적 실행 시간인 O(mn + n² log n)을 초월하여, 모든 k에 대해 거의 선형 시간을 달성하는 것.

제안 방법

• Naor와 Rabani가 처음 제안한 k-cut에 대한 새로운 선형 프로그래밍 근사화를 제안하며, 이는 정수 해로서 k-cut을 포괄한다.
• 반복 라운딩과 동적 트리 자료구조를 사용하여, 이 선형 프로그래밍 근사화에 대해 거의 선형 시간 (1 + ε)-근사화 기법을 개발한다.
• 그레디컷 라운딩 절차를 적용: 먼저 xₑ ≥ (n−1)/(2n) 인 간선을 선택하고, 나머지 간선들에 대해 최소 스패닝 포레스트를 계산한 후, k−ℓ개의 가장 가벼운 그레디컷을 추출한다.
• 동적 트리를 사용하여 컷 무게를 효율적으로 계산하며, 리프에서 LCA까지의 경로 값을 유지함으로써 각 간선에 대해 O(log n) 시간 내에 업데이트를 수행한다.
• Chekuri 등이 제시한 원본-이중 문제 통찰을 활용하여, 그레디컷 절차가 2(1 − 1/n)-근사값을 제공하며, 이는 선형 프로그래밍의 ε-근사화를 통해 (2 + ε)로 향상됨을 보여준다.
• 동적 트리를 사용하여 라운딩 단계를 O(m log n) 시간 내에 실행함으로써, 전체 알고리즘이 O(m log³n / ε²)의 결정론적 실행 시간을 확보한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 결정론적 알고리즘이 최소 컷과 동일한 속도로 2-근사 k-cut을 Õ(m) 시간 내에 계산할 수 있는가?
• RQ2 결정론적 알고리즘과 랜덤화 알고리즘 간의 격차는 기본적인 최소 컷 문제에서 기인하는가? 그리고 거의 선형 시간 결정론적 최소 컷 알고리즘을 통해 이를 극복할 수 있는가?
• RQ3 선형 프로그래밍 근사화와 효율적인 라운딩을 통해 k-cut에 대해 (2 + ε)-근사값을 거의 선형 시간 내에 달성할 수 있는가?
• RQ4 k-cut의 선형 프로그래밍 근사화가 거의 선형 시간 (1 + ε)-근사화 기법을 허용하는가? 이는 타당한 근사 보장을 가능하게 한다.
• RQ5 그레디컷 라운딩 기법은 동적 트리를 사용하여 결정론적 거의 선형 시간 내에 효율적으로 구현할 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 O(m log³n / ε²) 시간 내에 결정론적 (2 + ε)-근사값을 제공하는 최소 k-cut 알고리즘을 달성하였으며, 이는 거의 선형 시간 복잡도이자 k에 대한 의존성이 없다.
• 논문은 k-cut의 Naor-Rabani 선형 프로그래밍 근사화에 대해 거의 선형 시간 (1 + ε)-근사화 기법을 제안하였으며, 이는 처음으로 개발된 거의 선형 시간 기법이다.
• 최소 스패닝 포레스트의 그레디컷 기반 라운딩 절차는 2(1 − 1/n)-근사값을 제공하며, 이는 선형 프로그래밍의 ε-근사화를 통해 (2 + ε)로 향상된다.
• 라운딩 단계는 동적 트리를 사용하여 O(m log n) 시간 내에 실행되며, 이는 전체적으로 거의 선형 실행 시간을 가능하게 한다.
• 결과적으로 Saran과 Vazirani의 알고리즘의 랜덤화된 실행 시간 Õ(km)을 따라가지만, k에 대한 의존성을 제거하여 모든 k에 대해 Õ(m) 시간을 달성한다.
• 소작 확장 가설에 따르면, (2 + ε)-근사율은 본질적으로 최적이다. 2를 초월하는 것은 P = NP를 의미하기 때문이다.