[논문 리뷰] Fast Computation of Many-Body Entanglement

Johnnie Gray|arXiv (Cornell University)|2018. 09. 05.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 2인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 대규모 양자 many-body 시스템에서 혼합 상태 엔트로피 측정법인 로그 음성도를 효율적으로 계산하기 위한 Tensor Network Stochastic Lanczos Quadrature (TNSLQ) 방법을 소개한다. 부분적으로 전치된 밀도 행렬의 게으른 평가 기반 텐서 네트워크 표현과 스 tochastic Lanczos quadrature를 결합함으로써, 밀도 상태에서는 최대 30 큐비트, 행렬 곱 상태(MPS)에서는 약 180의 결합 차원까지 정확한 엔트로피 계산이 가능해져 기존의 약 15 큐비트 수준을 크게 초월한다.

ABSTRACT

Mixed state entanglement measures can act as a versatile probes of many-body systems. However, they are generally hard to compute, often relying on tricky optimizations. One measure that is straightforward to compute is the logarithmic negativity, yet done naively even this is still limited to small system sizes. Here, we introduce a method to compute the logarithmic negativity for arbitrary subsystems of a densely represented state, as well as block subsystems of matrix product states. The method combines lazily evaluated, tensor network representations of the partially transposed density matrix with stochastic Lanczos quadrature, and is easily extendible to other quantities and classes of many-body states. As examples, we compute the entanglement within random pure states for density matrices of up to 30 qubits, explore scrambling in a many-body quench, and match the results of conformal field theory in the ground-state of the Heisenberg model for density matrices of up to 1000 spins. An implementation of the algorithm has been made available in the open-source library extit{quimb}.

연구 동기 및 목표

• 대규모 many-body 양자 시스템에서 혼합 상태 엔트로피 측정법(예: 로그 음성도)을 계산하는 데 발생하는 계산적 한계를 극복하기 위해.
• 기본적인 계산 방식이 제곱근의 세제곱 스텝을 가지며, 이로 인해 실용적인 사용이 약 15 큐비트 수준으로 제한되는 문제를 해결하기 위해.
• 확장 가능하고 정확하며 일반화 가능한 방법을 개발하여 순수 상태와 행렬 곱 상태(MPS) 모두에 적용 가능하도록 하기 위해.
• 양자 쿼런치 및 conformal field theory의 기저 상태와 같은 복잡한 시나리오에서의 엔트로피 연구를 가능하게 하기 위해.

제안 방법

• 부분적으로 전치된 밀도 행렬을 암묵적으로 표현하기 위해 텐서 네트워크 표현을 사용하여 명시적 구성과 저장을 피한다.
• 로지스틱 음성도를 정의하는 부분 전치 밀도 행렬의 트레이스 노름을 추정하기 위해 스 tochastic Lanczos quadrature(SLQ)를 적용한다.
• 감소된 밀도 행렬을 텐서 네트워크를 통해 정의된 선형 연산자로 간주함으로써 스펙트럼 합의 효율적 추정이 가능해진다.
• 행렬 곱 상태의 경우, SLQ 이전에 압축 단계를 적용하여 효과적인 결합 차원을 줄이고 계산의 가능성을 유지한다.
• 이 알고리즘은 오픈소스 quimb 라이브러리에 구현되어 있으며, 단일 정밀도 산술을 통해 병렬 처리 및 GPU 가속을 지원한다.
• 이 방법은 바이너리 엔트로피와 상호 정보량과 같은 다른 엔트로피 관련 양에 대해서도 확장 가능하다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 기본적인 방법이 약 15 큐비트 수준을 넘어서는 대규모 양자 상태의 부분계에서 로그 음성도를 효율적으로 계산할 수 있는가?
• RQ2 어떻게 텐서 네트워크 표현을 활용하여 부분적으로 전치된 밀도 행렬의 명시적 저장을 피할 수 있는가?
• RQ3 스 tochastic Lanczos quadrature는 대규모 혼합 상태에서 트레이스 노름의 정확하고 오차가 제한된 추정을 얼마나 잘 수행할 수 있는가?
• RQ4 고결합 차원을 가진 행렬 곱 상태에 대해서도 이 방법이 정확성과 효율성을 유지하면서 적용 가능한가?
• RQ5 시스템 크기와 순수도는 스 tochastic 추정 과정의 오차 한계에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 이 방법은 밀도 행렬이 최대 30 큐비트까지의 밀도로 표현된 순수 상태에서 로그 음성도를 계산할 수 있게 하여, 기존의 약 15 큐비트 수준의 실용적 한계를 초월한다.
• 행렬 곱 상태의 경우, 약 180의 결합 차원까지 가능하여 개방형 또는 주기적 경계 조건을 가진 더 큰 시스템에서의 엔트로피 연구가 가능해진다.
• 로그 음성도 추정의 오차는 시스템 크기에 무관한 상수로 제한되어 있으며, 잘 통제되어 있으며 분산 또한 쉽게 추적할 수 있다.
• 일반적인 물리적 시스템에서는 정확도가 0.1%에서 1% 이내로 달성되어 고정밀 연구에 적합하다.
• 알고리즘은 매우 병렬화 가능하며 GPU 가속 기능을 갖추고 있어 단일 정밀도 산술을 사용한 효율적 계산이 가능하다.
• 이 방법은 무작위 순수 상태, 양자 쿼런치, 헤이젠베르크 모델의 기저 상태에서의 엔트로피 연구에 성공적으로 적용되었으며, conformal field theory 예측과 일치한다.