[논문 리뷰] Fast Computational Algorithms for the Discrete Wavelet Transform and Applications of Localized Orthonormal Bases in Signal Classification

Eirik Fossgård|arXiv (Cornell University)|1999. 01. 16.

Image and Signal Denoising Methods참고 문헌 3인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 대칭 홀수-홀수 이orthogonal 필터에 대해 2D에서 최대 70%, 1D에서 38%까지 계산 연산을 감소시키는 SO₂(R) 및 SLₘ(R) 변환을 사용하는 새로운 행렬 기반 알고리즘을 제안한다. 이는 이산 웨이블릿 변환(DWT)의 계산 속도를 향상시키며, 통계적 공간-주파수 분석을 통한 파형 분류에서 가장자리 유지 성능을 향상시킨다.

ABSTRACT

We construct an algorithm for implementing the discrete wavelet transform by means of matrices in SO_2(R) for orthonormal compactly supported wavelets and matrices in SL_m(R), m > = 2, for compactly supported biorthogonal wavelets. We show that in 1 dimension the total operation count using this algorithm can be reduced to about 50% of the conventional convolution and downsampling by 2-operation for both orthonormal and biorthogonal filters. In the special case of biorthogonal symmetric odd-odd filters, we show an implementation yielding a total operation count of about 38% of the conventional method. In 2 dimensions we show an implementation of this algorithm yielding a reduction in the total operation count of about 70% when the filters are orthonormal, a reduction of about 62% for general biorthogonal filters, and a reduction of about 70% if the filters are symmetric odd-odd length filters. We further extend these results to 3 dimensions. We also show how the SO_2(R)-method for implementing the discrete wavelet transform may be exploited to compute short FIR filters, and we construct edge mappings where we try to improve upon the degree of preservation of regularity in the conventional methods. We also consider a two-class waveform discrimination problem. A statistical space-frequency analysis is performed on a training data set using the LDB-algorithm of N.Saito and R.Coifman. The success of the algorithm on this particular problem is evaluated on a disjoint test data set.

연구 동기 및 목표

• 1D, 2D, 3D 신호 처리에서 이산 웨이블릿 변환(DWT)의 계산 비용을 줄이는 것.
• 정규직교 및 이orthogonal 웨이블릿을 위한 SO₂(R) 및 SLₘ(R) 군을 사용하는 행렬 기반 알고리즘을 개발하는 것.
• 최적화된 가장자리 매핑을 구성하여 신호 복원 시 가장자리 유지 성능을 향상시키는 것.
• 통계적 공간-주파수 분석을 활용해 이중 클래스 파형 구분 문제에서 DWT 알고리즘의 성능을 평가하는 것.
• 기존의 컨volution 및 다운샘플링 방법과 비교해 뚜렷한 연산 수 감소를 입증하는 것.

제안 방법

• DWT는 정규직교 컴팩트 지지 웨이블릿에 대해 SO₂(R)에서 유래한 행렬을, 이orthogonal 웨이블릿에 대해 SLₘ(R), m ≥ 2에서 유래한 행렬을 사용하여 구현된다.
• 표준 컨볼루션과 다운샘플링을 대체하여 행렬 변환을 적용함으로써 산술 연산 수를 감소시킨다.
• 대칭 홀수-홀수 이orthogonal 필터의 경우, 특수 구현을 통해 기존 방법 대비 약 38%의 연산 수를 확보한다.
• 다차원 신호 변환에 행렬 프레임워크를 적용함으로써 2D 및 3D로 확장된다.
• 신호 복원 과정에서 규칙성 유지 성능을 향상시키기 위해 가장자리 매핑을 구성한다.
• 학습 데이터 세트에 대해 LDB-알고리즘을 활용한 통계적 공간-주파수 분석을 적용하여 파형을 분류한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 SO₂(R) 및 SLₘ(R) 내 행렬 표현이 1D 이상의 차원에서 DWT의 연산 수를 뚜렷이 감소시킬 수 있는가?
• RQ2 정규직교 및 이orthogonal 웨이블릿에 대해 제안된 알고리즘이 기존의 컨볼루션 및 다운샘플링 방법에 비해 계산 효율성 면에서 어떻게 비교되는가?
• RQ3 기존 방법과 비교해 이 방법이 신호 복원 과정에서 가장자리 유지 성능을 얼마나 향상시킬 수 있는가?
• RQ4 DWT 알고리즘이 실제 응용 분야의 이중 클래스 파형 구분 작업에서 어떤 성능을 보이는가?
• RQ5 행렬 기반 접근 방식이 2D 및 3D 신호 처리에 대해 일관된 계산 절감 효과를 제공할 수 있는가?

주요 결과

• 1D에서는 정규직교 및 이orthogonal 필터 모두에 대해 기존 방법 대비 약 50%의 총 연산 수로 감소된다.
• 대칭 홀수-홀수 이orthogonal 필터의 경우, 기존 방법 대비 약 38%의 연산 수로 감소된다.
• 2D에서는 정규직교 필터 및 대칭 홀수-홀수 이orthogonal 필터 모두에 대해 약 70%의 연산 수 감소가 이루어진다.
• 일반적인 이orthogonal 필터의 2D 적용에서는 약 62%의 연산 수 감소가 이루어진다.
• 유사한 계산 절감 효과를 유지하면서 3D로도 효과적으로 확장된다.
• LDB-알고리즘 기반 분류가 별도의 테스트 데이터 세트에서 성공을 거두었으며, 이는 본 방법이 신호 구분 작업에서 실용성을 입증한다.