[논문 리뷰] Fast digital methods for adiabatic state preparation

Kianna Wan, Isaac H. Kim|arXiv (Cornell University)|2020. 04. 08.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 36인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 게이트 기반 양자 컴퓨터에서 빠른 애디아바틱 상태 준비를 위한 양자 알고리즘을 제안하며, 준애디아바틱 계속성(quasi-adiabatic continuation)을 사용하여 역오차에 대한 다항로그 스케일링을 달성한다. 일반 고유상태의 경우 쿼리 복잡도를 $ olimits\mathcal{O}\left(\frac{\alpha^2}{\gamma^2}\operatorname{polylog}(\alpha/\gamma\epsilon)\right)$로 줄였고, 지구 상태의 경우 더 나은 스케일링을 제공하여 이전 방법들에 비해 정밀도 의존성에서 지수적 향상을 이룬다.

ABSTRACT

We present a quantum algorithm for adiabatic state preparation on a gate-based quantum computer, with complexity polylogarithmic in the inverse error. Our algorithm digitally simulates the adiabatic evolution between two self-adjoint operators $H_0$ and $H_1$, exponentially suppressing the diabatic error by harnessing the theoretical concept of quasi-adiabatic continuation as an algorithmic tool. Given an upper bound $α$ on $\|H_0\|$ and $\|H_1\|$ along with the promise that the $k$th eigenstate $|ψ_k(s) angle$ of $H(s) \equiv (1-s)H_0 + sH_1$ is separated from the rest of the spectrum by a gap of at least $γ> 0$ for all $s \in [0,1]$, this algorithm implements an operator $\widetilde{U}$ such that $\||ψ_k(1) angle - \widetilde{U}|ψ_k(s) angle\| \leq ε$ using $O(α^2/γ^2) ext{polylog}(α/γε)$ queries to block-encodings of $H_0$ and $H_1$. In addition, we develop an algorithm that is applicable only to ground states and requires multiple queries to an oracle that prepares $|ψ_0(0) angle$, but has slightly better scaling in all parameters. We also show that the costs of both algorithms can be further reduced under certain reasonable conditions, such as when $\|H_1 - H_0\|$ is small compared to $α$, or when more information about the gap of $H(s)$ is available. For certain problems, the scaling can even be improved to linear in $\|H_1 - H_0\|/γ$ up to polylogarithmic factors.

연구 동기 및 목표

• 양자 시뮬레이션에서 초기 상태 준비의 높은 비용, 특히 저에너지 고유상태의 경우를 해결하기 위해.
• Trotter-Suzuki 분해 기반의 이전 애디아바틱 상태 준비 알고리즘에서 발생하는 다항식 오차 의존성 문제를 극복하기 위해.
• 역오차에 대한 다항로그 스케일링을 달성하는 디지털 양자 알고리즘을 개발하여 정밀도 의존성을 크게 향상시키기 위해.
• 준애디아바틱 계속성의 이론적 프레임워크를 디지털 양자 시뮬레이션을 위한 실용적 알고리즘 도구로 활용하기 위해.
• 디지털 애디아바틱 진동과 고유상태 필터링을 통합하여 지구 상태 준비의 스케일링을 향상시키기 위해.

제안 방법

• 블록 인코딩 오라클을 사용하여 두 자기수반 해밀토니안 $H_0$와 $H_1$ 사이의 디지털로 애디아바틱 진동을 시뮬레이션한다.
• 시간에 따라 적절히 선택된 함수 $f(t)$를 사용하여 시간진동 연산자를 구성함으로써 비애디아바틱 오차를 억제하기 위해 준애디아바틱 계속성의 개념을 적용한다.
• 필터링 기반 기법을 피하고, 시간순서 지수의 적분 변환 기반의 비유니터리 진동 프레임워크를 사용한다.
• 각 $H_0$와 $H_1$ 오라클을 한 번씩 쿼리하여 $H(s) = (1-s)H_0 + sH_1$의 블록 인코딩을 구성함으로써 $[s_0, s_1] \subset [0,1]$에서의 세그먼트별 애디아바틱 진동을 가능하게 한다.
• 지구 상태의 경우, 고유상태 필터링과 디지털 애디아바틱 준비를 통합하여, $|\psi_0(0)\rangle$의 상태 준비 오라클 $G_0$에 대한 다중 쿼리가 필요하다.
• 추가적인 가정, 예를 들어 $\|H_1 - H_0\|$가 작거나 비균일한 갭 경계 $\gamma(s)$가 있을 경우, 복잡도를 향상시켜 $\widetilde{\mathcal{O}}(\beta/\gamma)$의 복잡도를 달성한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 디지털 양자 알고리즘에서 역오차에 대한 다항로그 의존성을 달성할 수 있는가?
• RQ2 준애디아바틱 계속성 프레임워크는 실용적인 양자 알고리즘으로 어떻게 변환될 수 있는가?
• RQ3 만약 $H_0$의 고유상태가 알려져 있을 때, $H_1$의 목표 고유상태를 준비하기 위한 최적의 쿼리 및 게이트 복잡도는 무엇인가?
• RQ4 스펙트럼 갭 $\gamma(s)$에 대한 추가 정보가 있을 경우 더 나은 스케일링을 달성할 수 있는가?
• RQ5 지구 상태 준비 오라클의 포함 여부가 애디아바틱 상태 준비의 총 복잡도에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 알고리즘은 $H_0$와 $H_1$의 블록 인코딩에 대해 $ olimits\mathcal{O}\left(\frac{\alpha^2}{\gamma^2}\operatorname{polylog}(\alpha/\gamma\epsilon)\right)$의 쿼리를 사용하여 오차 $\epsilon$로 $H_1$의 $k$번째 고유상태를 준비한다.
• 지구 상태의 경우 유리한 조건 하에서 복잡도를 $\widetilde{\mathcal{O}}(\beta/\gamma)$로 줄여, 이전 방법들보다 다항식 오차 의존성에서 향상된 결과를 얻는다.
• 임의의 간격 $[s_0, s_1] \subset [0,1]$에서 세그먼트별 애디아바틱 진동이 가능하여 국소적 갭 정보 $\gamma(s)$에 기반한 적응적 스케일링이 가능하다.
• $\|H_1 - H_0\|$가 $\alpha$에 비해 작을 경우, 복잡도는 $\widetilde{\mathcal{O}}(\|H_1 - H_0\|/\gamma)$로 스케일링되어 편향 강도에 대해 선형 의존성을 달성한다.
• 필터링 기법에 의존하지 않고도 $1/\epsilon$에 대한 다항로그 스케일링을 유지하여 기존의 애디아바틱 시뮬레이션 방법에 비해 개념적·실용적 개선을 이룬다.
• 스펙트럼 갭 함수 $\gamma(s)$에 합리적인 가정을 두면 쿼리 복잡도는 $\widetilde{\mathcal{O}}(\beta/\gamma)$로 감소하며, 이는 이전의 갭 최적화 알고리즘에 비해 정밀도 스케일링에서 지수적 향상을 나타낸다.