[논문 리뷰] Fast Elliptic Curve Arithmetic and Improved Weil Pairing Evaluation

Kirsten Eisenträger, Kristin Lauter외 1명|ArXiv.org|2002. 08. 05.

Cryptography and Residue Arithmetic인용 수 48

한 줄 요약

이 논문은 아핀 좌표를 사용할 때 $2P + Q$ 를 계산하는 과정에서 한 개의 필드 곱셈을 제거함으로써 타원곡선 상에서의 스칼라 곱셈을 최적화하는 알고리즘을 제시한다. 이로 인해 스칼라 곱셈에서 평균 3.8%에서 8.5%의 성능 향상을 달성한다. 이 방법은 포물선 보간을 통해 웰 및 타인 페어링 평가를 최적화하여 최대 7.8%의 가속을 이끌어내며, 고비용의 선형 함수 평가를 줄이고 중간 결과를 활용한다.

ABSTRACT

We present an algorithm which speeds scalar multiplication on a general elliptic curve by an estimated 3.8 % to 8.5 % over the best known general methods when using affine coordinates. This is achieved by eliminating a field multiplication when we compute 2P+Q from given points P, Q on the curve. We give applications to simultaneous multiple scalar multiplication and to the Elliptic Curve Method of factorization. We show how this improvement together with another idea can speed the computation of the Weil and Tate pairings by up to 7.8 %.

연구 동기 및 목표

• 아핀 좌표에서 타원곡선 상의 스칼라 곱셈의 계산 비용을 줄이기 위해.
• 중간 결과를 저장하지 않고 $2P + Q$ 계산 과정에서 중복된 필드 곱셈을 제거하기 위해.
• 웨일 및 타인 페어링의 평가를 최적화하여 페어링 기반 암호 시스템의 효율성을 향상시키기 위해.
• 정수 인수 분해를 위한 타원곡선 방법(ECM)과 같은 응용 분야로 성능 향상을 확장하기 위해.
• 표준 스칼라 곱셈 알고리즘과 페어링 계산에 적용 가능한 실용적이고 일반적인 개선을 제공하기 위해.

제안 방법

• 알고리즘은 $2P + Q$ 를 $ (P + Q) + P $ 방식으로 계산함으로써 $P + Q$ 의 $y$-좌표를 저장하거나 계산할 필요 없이 한 개의 필드 곱셈을 절약한다.
• 군 법칙에서 유도된 포물선 보간 공식을 사용하여 페어링 함수의 분자 표현을 가능하게 하여 $bP + cP$ 의 경우 명시적인 $y$-좌표 계산을 피한다.
• 이중-덧셈 연산 중에 계산된 기울기 값 $\lambda_1$ 과 $\lambda_2$ 를 재사용하여 포물선 계수를 구성하는 데 추가 곱셈 하나만 필요로 한다.
• 페어링 평가를 최적화하기 위해 네 개의 선형 함수 곱을 단일 포물선 함수로 대체함으로써 $y$-좌표 의존성을 제거한다.
• 페어링의 분자 표현을 포물선으로 재구성함으로써 웰 및 타인 페어링 양쪽 모두에 적용 가능하게 하여 평가 비용을 감소시킨다.
• 생산 환경 구현을 위해 부록에 의사코드와 특수 케이스 처리(예: 무한원점)가 포함되어 있다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 타원곡선 상에서 $2P + Q$ 를 계산할 때 중간 $y$-좌표 저장을 피함으로써 비용을 줄일 수 있는가?
• RQ2 최적화된 $2P + Q$ 연산에서의 절감 효과가 왼쪽에서 오른쪽 방향 이진법을 사용한 스칼라 곱셈에 얼마나 효과적으로 활용될 수 있는가?
• RQ3 웨일 및 타인 페어링 분자의 구조를 포물선으로 재표현하여 필드 연산 수를 줄일 수 있는가?
• RQ4 선형 함수 곱을 포물선 평가로 대체할 경우 페어링 계산에서의 정량적 성능 향상은 어느 정도인가?
• RQ5 실제 구현에서 다양한 윈도우 크기와 곡선 유형에 대해 제안된 방법의 확장성은 어떠한가?

주요 결과

• 제안된 알고리즘은 $2P + Q$ 계산 비용을 2개의 곱셈에서 1개로 줄여 스칼라 곱셈 시간에 평균 3.8%에서 8.5%의 절감을 이룬다.
• 네 개의 선형 함수 평가를 단일 포물선 평가로 대체함으로써 웰 및 타인 페어링 평가에서 7.8%의 성능 향상을 달성한다. 이는 $y$-좌표 계산을 피하기 때문이다.
• 고정된 $P$ 를 사용해 다수의 페어링을 계산할 경우, 포물선 계수를 사전 계산할 수 있으므로 성능 향상이 12.5%로 증가한다.
• 다양한 곡선 유형에 걸쳐 일관된 절감 효과를 보이며, 슬라이딩 윈도우 및 이진법을 포함한 표준 스칼라 곱셈 방법에 모두 적용 가능하다.
• 부록에 제시된 의사코드와 특수 케이스 처리를 통해 기하학적 특수 케이스에서도 알고리즘이 정확성과 효율성을 유지함을 입증하였다.
• 성능 향상은 필드 곱셈과 나눗셈의 수로 측정되었으며, 비용 비교를 위해 나눗셈을 5.18개의 곱셈으로 추정하였다.