[논문 리뷰] Fast evaluation of the Caputo fractional derivative and its applications to fractional diffusion equations

Shidong Jiang, Jiwei Zhang외 2명|arXiv (Cornell University)|2015. 11. 11.

Fractional Differential Equations Solutions참고 문헌 24인용 수 13

한 줄 요약

이 논문은 시간에 따라 변화하는 문제에서 Caputo 분수도 도함수의 고비용 계산 및 저장 요구를 해결하기 위해, $\alpha \in (0,1)$인 분수도 도함수를 빠르게 평가하는 알고리즘을 제안한다. 이는 커널 $t^{-1-\alpha}$에 대한 지수함수의 합 근사법을 사용하여 저장 용량을 $O(N_T)$에서 $O(N_{\text{exp}})$로, 계산 비용을 $O(N_T^2)$에서 $O(N_T N_{\text{exp}})$로 감소시킨다. 이 방법은 거의 최적의 복잡도를 달성하며, 분수도 확산 방정식에 적용되었을 때 $O(N_S N_T N_{\text{exp}})$의 계산 작업과 $O(N_S N_{\text{exp}})$의 저장 용량을 요구하여 직접 방법에 비해 효율성이 크게 향상된다.

ABSTRACT

We present an efficient algorithm for the evaluation of the Caputo fractional derivative $_0^C\!D_t^αf(t)$ of order $α\in (0,1)$, which can be expressed as a convolution of $f'(t)$ with the kernel $t^{-α}$. The algorithm is based on an efficient sum-of-exponentials approximation for the kernel $t^{-1-α}$ on the interval $[Δt, T]$ with a uniform absolute error $\varepsilon$, where the number of exponentials $N_{ ext{exp}}$ needed is of the order $O\left(\log\frac{1}{\varepsilon}\left( \log\log\frac{1}{\varepsilon}+\log\frac{T}{Δt} ight) +\log\frac{1}{Δt}\left( \log\log\frac{1}{\varepsilon}+\log\frac{1}{Δt} ight) ight)$. As compared with the direct method, the resulting algorithm reduces the storage requirement from $O(N_T)$ to $O(N_{ ext{exp}})$ and the overall computational cost from $O(N_T^2)$ to $O(N_TN_{ ext{exp}})$ with $N_T$ the total number of time steps. Furthermore, when the fast evaluation scheme of the Caputo derivative is applied to solve the fractional diffusion equations, the resulting algorithm requires only $O(N_SN_{ ext{exp}})$ storage and $O(N_SN_TN_{ ext{exp}})$ work with $N_S$ the total number of points in space; whereas the direct methods require $O(N_SN_T$) storage and $O(N_SN_T^2)$ work. The complexity of both algorithms is nearly optimal since $N_{ ext{exp}}$ is of the order $O(\log N_T)$ for $T\gg 1$ or $O(\log^2N_T)$ for $T\approx 1$ for fixed accuracy $\varepsilon$. We also present a detailed stability and error analysis of the new scheme for solving linear fractional diffusion equations. The performance of the new algorithm is illustrated via several numerical examples. Finally, the algorithm can be parallelized in a straightforward manner.

연구 동기 및 목표

• 시간에 따라 변화하는 문제에서 Caputo 분수도 도함수의 직접 평가가 요구하는 높은 계산 비용과 저장 용량 문제를 해결하기 위해.
• 장시간 시뮬레이션에 적합한 거의 최적의 복잡도를 갖는 빠르고 안정적이며 정확한 알고리즘을 개발하기 위해.
• 빠른 평가 기법을 분수도 확산 방정식에 적용하여 공간-시간 이산화에서 저장 용량과 계산 작업을 모두 감소시키기 위해.
• 선형 분수도 확산 방정식을 풀이할 때 새로운 기법의 안정성과 오차 분석을 철저히 도출하기 위해.
• 효율적인 병렬 처리와 고차수 스킴 및 다차원 문제로의 확장을 가능하게 하기 위해.

제안 방법

• Caputo 도함수를 표준 L1 스킴으로 근사한 국소 부분과 $t^{-1-\alpha}$와의 컨볼루션을 포함하는 역사 부분으로 분해한다.
• $[\Delta t, T]$에서 $t^{-1-\alpha}$에 대한 지수함수의 합 근사를 $\varepsilon$의 균일 절대 오차로 구성하며, 논문에서 제시된 바와 같이 $N_{\text{exp}}$개의 지수함수를 필요로 한다.
• 지수함수의 수는 $O\left(\log\frac{1}{\varepsilon}(\log\log\frac{1}{\varepsilon} + \log\frac{T}{\Delta t}) + \log\frac{1}{\Delta t}(\log\log\frac{1}{\varepsilon} + \log\frac{1}{\Delta t})\right)$로 척도가 정해진다.
• 근사된 커널과의 컨볼루션은 재귀 관계를 통해 가속화되어 역사 부분의 빠른 평가가 가능해진다.
• 결과로 도출된 알고리즘은 분수도 확산 방정식의 시간 단계 스킴에 통합되어 $O(N_S N_T N_{\text{exp}})$의 계산 작업과 $O(N_S N_{\text{exp}})$의 저장 용량을 달성한다.
• 이산 에너지 방법과 적분 가중치에 대한 경계를 사용하여 안정성과 오차 분석을 엄밀하게 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 지수함수의 합 근사를 통해 커널 $t^{-1-\alpha}$를 근사함으로써 Caputo 분수도 도함수를 거의 최적의 복잡도로 평가할 수 있는가?
• RQ2 구간 $[\Delta t, T]$에서 $t^{-1-\alpha}$를 균일 절대 오차 $\varepsilon$로 근사하기 위해 필요한 지수함수의 수 $N_{\text{exp}}$는 얼마인가?
• RQ3 분수도 확산 방정식을 풀이할 때 제안된 빠른 알고리즘이 직접 방법에 비해 정확도, 안정성, 계산 비용 측면에서 어떻게 비교되는가?
• RQ4 이 빠른 평가 기법은 고차수 이산화 및 다차원 문제로 확장될 수 있는가?
• RQ5 선형 분수도 확산 방정식에 적용했을 때 새로운 기법의 안정성 행동은 어떠한가?

주요 결과

• 균일 절대 오차 $\varepsilon$를 확보하기 위해 필요한 지수함수의 수 $N_{\text{exp}}$는 $T \gg 1$일 경우 $O(\log N_T)$로, $T \approx 1$일 경우 $O(\log^2 N_T)$로 척도가 정해지며, 거의 최적의 복잡도를 달성한다.
• 빠른 알고리즘은 Caputo 도함수 평가에 있어 저장 용량을 $O(N_T)$에서 $O(N_{\text{exp}})$로, 계산 비용을 $O(N_T^2)$에서 $O(N_T N_{\text{exp}})$로 감소시킨다.
• 분수도 확산 방정식에 적용되었을 때, 이 방법은 $O(N_S N_T N_{\text{exp}})$의 계산 작업과 $O(N_S N_{\text{exp}})$의 저장 용량을 요구하여 직접 방법에 비해 크게 향상된다.
• 수치적 결과는 기존의 표준 L1 스킴과 동일한 수렴 순서($2 - \alpha$)를 유지하면서도 CPU 시간과 메모리 사용량이 극적으로 감소함을 확인한다.
• 이론적 안정성 분석은 적절한 조건 하에서 선형 분수도 확산 방정식에 대해 이 기법이 조건부 안정성이 아닌 절대 안정성을 확보함을 확인한다.
• 이 알고리즘은 자연스럽게 병렬 처리가 가능하여 현대 컴퓨팅 아키텍처에서 효율적인 구현이 가능하다.