[논문 리뷰] Fast Exact Algorithms Using Hadamard Product of Polynomials

V. Arvind, Abhranil Chatterjee외 2명|arXiv (Cornell University)|2019. 01. 01.

Complexity and Algorithms in Graphs인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 산술 회로에서 다항식의 차수 k를 가진 다중선형 단항식의 수를 세는 문제 ((k,n)-MLC)와 그 존재성을 탐지하는 문제 (k-MMD)에 대한 빠르고 정확한 알고리즘을 제시한다. 다항식의 하다마르드 곱 — 특히 f ◦ Sn,k를 통해 차수 k의 다중선형 부분을 추출함으로써, 저자들은 (k,n)-MLC에 대해 결정론적 O*(n^{k/2 + c log k})-시간 알고리즘과 k-MMD에 대해 랜덤화된 O*(4.32^k)-시간 알고리즘을 개발하였으며, 이는 이전의 경계를 향상시키고 최고의 공간 효율성과 일치시킨다.

ABSTRACT

Let C be an arithmetic circuit of poly(n) size given as input that computes a polynomial f in F[X], where X={x_1,x_2,...,x_n} and F is any field where the field arithmetic can be performed efficiently. We obtain new algorithms for the following two problems first studied by Koutis and Williams [Ioannis Koutis, 2008; Ryan Williams, 2009; Ioannis Koutis and Ryan Williams, 2016]. - (k,n)-MLC: Compute the sum of the coefficients of all degree-k multilinear monomials in the polynomial f. - k-MMD: Test if there is a nonzero degree-k multilinear monomial in the polynomial f. Our algorithms are based on the fact that the Hadamard product f o S_{n,k}, is the degree-k multilinear part of f, where S_{n,k} is the k^{th} elementary symmetric polynomial. - For (k,n)-MLC problem, we give a deterministic algorithm of run time O^*(n^(k/2+c log k)) (where c is a constant), answering an open question of Koutis and Williams [Ioannis Koutis and Ryan Williams, 2016]. As corollaries, we show O^*(binom{n}{downarrow k/2})-time exact counting algorithms for several combinatorial problems: k-Tree, t-Dominating Set, m-Dimensional k-Matching. - For k-MMD problem, we give a randomized algorithm of run time 4.32^k * poly(n,k). Our algorithm uses only poly(n,k) space. This matches the run time of a recent algorithm [Cornelius Brand et al., 2018] for k-MMD which requires exponential (in k) space. Other results include fast deterministic algorithms for (k,n)-MLC and k-MMD problems for depth three circuits.

연구 동기 및 목표

• 산술 회로에서 차수 k를 가진 다중선형 단항식의 수를 세는 데 있어 Koutis와 Williams가 제기한 실행 시간 향상 문제를 해결하기 위해.
• 완전 탐색 및 이전 방법보다 시간 복잡도에서 뛰어난 효율적인 정확 알고리즘을 (k,n)-MLC와 k-MMD에 대해 개발하기 위해.
• 다중선형 다항식의 부분을 효율적으로 추출하기 위해 다항식의 하다마르드 곱을 새로운 대수적 도구로 적용하기 위해.
• 기본적인 매개변수 문제에 대해 향상된 시간 및 공간 효율성을 갖는 결정론적 및 랜덤화 알고리즘을 달성하기 위해.
• 이 방법을 깊이 3인 회로로 확장하여 k-Tree 및 t-Dominating Set과 같은 조합 문제에 대해 향상된 수세기 알고리즘을 도출하기 위해.

제안 방법

• 핵심 기법은 다항식 f의 차수 k의 다중선형 부분을 분리하기 위해 하다마르드 곱 f ◦ Sn,k를 사용하는 것으로, 여기서 Sn,k는 k번째 기본 대칭 다항식이다.
• 대칭화 기법과 비가환 환에서의 직사각형 행렬식의 효율적 평가를 조합하여, 이를 가환 설정에 적응시킨다.
• (k,n)-MLC의 경우, 알고리즘은 f에 대한 블랙박스 액세스와 대수적 분지 프로그램(ABPs)을 통한 하다마르드 곱의 효율적 계산을 활용하여 O*(n^{k/2 + c log k}) 시간을 달성한다.
• k-MMD의 경우, 1.3k개의 색깔을 사용한 랜덤 색칠과 다중선형 단항식을 모두 커버하는 ΠΣ 회로 Pi를 구성한 후, Schwartz-Zippel 보조정리에 기반한 랜덤화된 PIT 테스트를 수행한다.
• 회로의 X와 Z 변수를 모두 대칭화하여, 길이 0.3k인 특정 Z-어구로 끝나는 단항식에 집중함으로써, 색다른 다중선형 항을 분리한다.
• 핵심 혁신은 S_{1.3k, 0.3k}를 사용하여 회로의 차수를 확장함으로써, 다중선형 구조를 유지하면서도 하다마르드 곱의 효율적 계산을 가능하게 한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 차수 k를 가진 다중선형 단항식의 수를 세는 (k,n)-MLC 문제는 O*(n^k)보다 훨씬 낮은 시간, 특히 O*(n^{k/2 + c log k})에 해결될 수 있는가?
• RQ2 공간 복잡도가 다항식 수준이면서 실행 시간이 O*(4.32^k)인 랜덤화 알고리즘을 k-MMD에 대해 설계할 수 있는가? 이는 최고의 시간 복잡도를 유지하면서 공간 복잡도를 향상시키는 것이다.
• RQ3 가환 설정에서 다항식의 하다마르드 곱을 효율적으로 계산하여 다중선형 부분을 추출할 수 있는가? 이는 더 빠른 정확 알고리즘을 가능하게 한다.
• RQ4 이 방법을 깊이 3인 회로로 확장하여 (k,n)-MLC와 k-MMD에 대해 더 빠른 알고리즘을 도출할 수 있는가?
• RQ5 이 접근법을 활용하여 k-Tree 및 m-차원 k-매칭과 같은 조합 문제에 대해 향상된 정확 수세기 알고리즘을 도출할 수 있는가?

주요 결과

• (k,n)-MLC 문제는 결정론적 알고리즘으로 O*(n^{k/2 + c log k}) 시간에 해결 가능하며, 이는 Koutis와 Williams가 제기한 열린 문제에 대한 답을 제공한다.
• k-MMD 문제는 실행 시간이 O*(4.32^k)이고 다항식 수준의 공간을 사용하는 랜덤화 알고리즘으로 해결되며, 최근의 지수적 공간 알고리즘과 동일한 시간 복잡도를 유지하지만 공간 효율성이 크게 향상된다.
• 이 방법은 k-Tree, t-Dominating Set, m-Dimensional k-Matching에 대해 각각 O*(n^{k/2 + c log k}) 시간에 실행되는 향상된 정확 수세기 알고리즘을 가능하게 한다.
• 하다마르드 곱 기법은 대칭화와 효율적인 ABP 기반 평가를 통해 가환 설정에 성공적으로 적용되어 다중선형 부분의 더 빠른 계산을 가능하게 한다.
• 랜덤화된 k-MMD 절차에서 색칠당 실행 시간은 O*(2.46^k)이며, 1.3k개의 색깔을 사용하고 커버리지 확률의 철저한 분석을 통해 최적화되어 총 실행 시간이 O*(4.32^k)로 개선된다.
• 이 방법은 k에 대해 제곱 이하의 지수를 갖는 첫 번째 결정론적 알고리즘을 (k,n)-MLC에 제공하며, 깊이 3 회로로도 동일한 효율성 향상을 확장할 수 있다.