[논문 리뷰] Fast growth of the number of periodic points arising from heterodimensional connections

Masayuki Asaoka, Katsutoshi Shinohara외 1명|arXiv (Cornell University)|2018. 08. 22.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 5인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 비선형성과 전이 사상의 슈바르츠 도함수에 관한 특정 조건이 만족될 경우, 강건한 이형성 사이클을 가진 $C^r$-다양체 위의 $C^r$-일반적인 미분동형사상에서 주기점의 수가 초지수적 성장을 보임을 입증한다. 중심 방향에서의 첫 번째 귀환 사상에 대한 소규모 변형을 통해 $C^r$-평탄한 첫 번째 귀환 사상을 구성함으로써, 저자들은 부드러운 중심 분할이 존재하지 않을 경우에도 이러한 시스템이 지수적 성장 경계를 벗어나게 됨을 보여준다.

ABSTRACT

We consider C^r-diffeomorphisms of a compact smooth manifold having a pair of robust heterodimensional cycles where r is a positive integer or infinity. We prove that if certain conditions about the signatures of non-linearities and Schwarzian derivatives of the transition maps are satisfied, then by giving C^r arbitrarily small perturbation, we can produce a periodic point at which the first return map in the center direction is C^r-flat. As a consequence, we will prove that C^r-generic diffeomorphisms in the neighborhood of the initial diffeomorphism exhibit super-exponential growth of number of periodic points. We also give examples which show the necessity of the conditions on non-linearities and the Schwarzian derivatives.

연구 동기 및 목표

• 부분적으로 초구형인 미분동형사상에서 강건한 이형성 사이클을 가진 시스템에서 주기점의 성장률을 조사하며, 특히 표준적인 초구형성 또는 부드러운 중심 분할이 존재하지 않을 경우를 중심으로 다룬다.
• 일반적인 $C^r$-위상에서 주기점의 초지수적 성장이 어떤 정규성 및 역학적 조건 하에서 발생할 수 있는지를 규명한다.
• 지수적 성장 경계를 방지하기 위해 비선형성과 슈바르츠 도함수 조건이 필수적인지 명확히 한다.
• 큰 스펙트럼 간격이 필요하지 않은 일반적인 부분적으로 초구형 미분동형사상으로 이전의 반군 작용 및 기울기 곱의 결과를 확장한다.

제안 방법

• 비선형성과 슈바르츠 도함수를 핵심 불변량으로 삼아 중심 방향에서의 첫 번째 귀환 사상에 기반한 이형성 궤도에 대한 '서명'의 개념을 도입한다.
• 중심 방향에서의 첫 번째 귀환 사상을 $C^r$-평탄하게 만들기 위해 $C^r$-소규모 변형을 구성함으로써 주기점의 수의 무한한 성장을 가능하게 한다.
• 큰 스펙트럼 간격을 피함으로써 부드러운 중심 분할이 존재하지 않음을 보장함으로써, 일반적인 부분적으로 초구형 시스템을 기울기 곱 형태로 환원하지 않고도 분석할 수 있도록 한다.
• $C^r$-위상에서의 일반성 추론을 적용하여, 서명 조건을 만족하는 시스템의 근방에서 초지수적 성장이 일반적임을 보여준다.
• 편미분 정의된 중심 사상이 있는 $\mathbb{T}^3$ 위의 기울기 곱 미분동형사상을 사용하여 조건의 필수성을 보여주는 구체적 예를 제시한다.
• 일부 경우에서는 음의 슈바르츠 도함수와 임계점의 비평탄성을 이용해 주기점 성장률을 유계로 제한하고, 다른 경우에서는 초지수적 행동과 대비시켜 분석한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 이형성 사이클을 가진 미분동형사상의 $C^r$-편미분에서 비선형성과 전이 사상의 슈바르츠 도함수에 어떤 조건이 만족될 경우 주기점의 초지수적 성장이 일반적으로 발생하는가?
• RQ2 부드러운 중심 분할이나 큰 스펙트럼 간격이 존재하지 않을 경우에도 $C^r$-일반적인 미분동형사상에서 주기점의 초지수적 성장을 달성할 수 있는가?
• RQ3 이형성 궤도의 서명 조건—특히 비영인 비선형성과 음의 슈바르츠 도함수—이 지수적 성장 경계를 방지하기 위해 필수적인가?
• RQ4 $C^2$-일반적인 초지수적 성장이지만 $C^3$-유계 성장인 예시는 일반성 결과의 정규성 임계점의 날카로움을 어떻게 설명하는가?

주요 결과

• 강건한 이형성 사이클을 가진 시스템의 근방에서 $C^r$-일반적인 미분동형사상에서는 중심 귀환 사상에 대한 비선형성과 슈바르츠 도함수 조건이 만족될 경우 주기점의 초지수적 성장이 발생한다.
• 소규모 변형을 통해 중심 방향에서의 $C^r$-평탄한 첫 번째 귀환 사상을 구성함으로써, 부드러운 중심 분할이 존재하지 않을 경우에도 초지수적 성장이 유도됨을 보여준다.
• 예시들은 비선형성이 0이거나 슈바르츠 도함수가 음수가 아닐 경우 성장률이 최대 지수적 수준에 머무름을 보여주며, 이는 조건의 필수성을 입증한다.
• $C^2$-위상에서는 초지수적 성장이 일반적일 수 있지만, $C^3$-위상에서는 동일한 시스템이 오직 지수적 성장만을 보일 수 있으므로 정규성 임계점에서의 급격한 전이가 나타남을 시사한다.
• 이전의 반군 작용 및 기울기 곱에 대한 결과를 큰 스펙트럼 간격이나 정상적으로 초구형인 피브레이션을 요구하지 않는 일반적인 부분적으로 초구형 미분동형사상으로 확장한다.
• 논문은 이형성 사이클이 존재하고 중심 역학에 대한 역학적 조건이 만족될 경우 초지수적 성장이 $C^r$-일반적인 현상임을 입증한다.