[논문 리뷰] Fast Iterative Solver for the Optimal Control of Time-Dependent PDEs with Crank-Nicolson Discretization in Time

Santolo Leveque, John W. Pearson|arXiv (Cornell University)|2020. 01. 01.

Matrix Theory and Algorithms참고 문헌 47인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 시간에 따라 변화하는 PDE로 지배되는 최적 제어 문제에 대해 크랭크-니콜슨 시간 이산화를 사용하여 빠르고 강건하며 최적의 조절된 반복 해법을 제안한다. 승자점 시스템을 대칭화하기 위해 가역 변환을 적용하고, 최적의 슈어 여부 근사치를 갖는 새로운 조절자를 유도함으로써, 열 및 난류-확산 제어 문제 모두에서 메esh 크기와 매개변수에 영향을 받지 않는 수렴성을 달성한다.

ABSTRACT

In this article, we derive a new, fast, and robust preconditioned iterative solution strategy for the all-at-once solution of optimal control problems with time-dependent PDEs as constraints, including the heat equation and the non-steady convection--diffusion equation. After applying an optimize-then-discretize approach, one is faced with continuous first-order optimality conditions consisting of a coupled system of PDEs. As opposed to most work in preconditioning the resulting discretized systems, where a (first-order accurate) backward Euler method is used for the discretization of the time derivative, we employ a (second-order accurate) Crank--Nicolson method in time. We apply a carefully tailored invertible transformation for symmetrizing the matrix, and then derive an optimal preconditioner for the saddle-point system obtained. The key components of this preconditioner are an accurate mass matrix approximation, a good approximation of the Schur complement, and an appropriate multigrid process to apply this latter approximation---these are constructed using our work in transforming the matrix system. We prove the optimality of the approximation of the Schur complement through bounds on the eigenvalues, and test our solver against a widely-used preconditioner for the linear system arising from a backward Euler discretization. These demonstrate the effectiveness and robustness of our solver with respect to mesh-sizes, regularization parameter, and diffusion coefficient.

연구 동기 및 목표

• 시간에 따라 변화하는 PDE 제약 최적화에서 발생하는 대규모 전체 시스템을 해결하는 데 도전한다. 이는 2차 정확도를 갖는 시간 이산화를 필요로 한다.
• 역행 오일러 대비 더 복잡한 크랭크-니콜슨 이산화 시스템의 조절에 기인한 수치적 곤경을 극복한다.
• 메쉬 크기, 정규화 매개변수, 확산 계수에 영향을 받지 않는 강건한 수렴성을 보장하는 조절자를 개발한다.
• 고유값 경계를 통한 슈어 여부 근사치의 최적성에 대한 이론적 근거를 제공한다.
• 디리클레 경계 조건을 갖는 열 및 난류-확산 제어 문제에 대해 해법의 효능을 입증한다.

제안 방법

• 시간에 따라 변화하는 PDE에 대해 최적화 후 이산화 접근법을 적용하여 1차 최적성 조건을 유도한다.
• 시간에 대한 크랭크-니콜슨 이산화를 사용하여 2차 정확도를 확보함으로써 동일한 오차를 얻기 위해 필요한 시간 단계 수를 줄인다.
• 결과로 생긴 승자점 행렬 시스템을 대칭화하기 위해 가역 선형 변환을 적용함으로써 MINRES의 사용이 가능해진다.
• 승자점 이론에 기반한 새로운 조절자를 구성하며, 정확한 질량 행렬 근사치와 다중 격자 기반 향상된 슈어 여부 근사치를 사용한다.
• 메쉬 크기, 정규화 매개변수, 확산 계수에 대해 조건부 최적성을 입증하기 위해 조절된 시스템의 고유값에 대한 이론적 경계를 도출한다.
• 정확도 기준 $10^{-6}$로 조절된 MINRES를 사용하여 해법을 구현하고, 다양한 공간 메쉬 크기와 매개변수 값에서 테스트한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 크랭크-니콜슨 이산화된 시간에 따라 변화하는 PDE 제약 최적 제어 문제에 대해, 모든 매개변수에 대해 강건한 수렴성을 유지하는 조절된 반복 해법을 설계할 수 있는가?
• RQ2 제안된 조절자가 메쉬 크기, 정규화 매개변수, 확산 계수에 영향을 받지 않는 수렴성을 보장하는가?
• RQ3 조절자 내 슈어 여부 근사치가 고유값 경계를 통해 최적임을 증명할 수 있는가?
• RQ4 새로운 크랭크-니콜슨 기반 해법은 기존의 역행 오일러 기반 해법에 비해 반복 횟수와 강건성 측면에서 어떻게 비교되는가?
• RQ5 대칭화 변환이 결과로 생긴 승자점 시스템에 대해 MINRES와 같은 대칭 반복 해법의 사용을 효과적으로 가능하게 하는가?

주요 결과

• 제안된 조절자는 모든 테스트 설정에서 최대 27회의 반복 내에 수렴하여, 메쉬 크기, 정규화 매개변수 $\beta$, 확산 계수 $\epsilon$에 대해 강건함을 입증한다.
• $\beta = 10^{-5}$ 또는 $10^{-6}$일 경우, 슈어 여부가 질량 행렬에 더 가까워지므로 문제의 복잡도가 감소하여 반복 횟수가 감소한다.
• MINRES 반복 횟수는 공간 메쉬 크기 $h$, 정규화 매개변수 $\beta$, 확산 계수 $\epsilon$에 영향을 받지 않으며, 이는 매개변수 강건성을 확인한다.
• 이론적 고유값 경계는 슈어 여부 근사치가 최적임을 확인하며, 이는 조절자가 행렬 차원에 대해 선형으로 스케일링됨을 보장한다.
• 수치적 결과는 새로운 해법이 일반적으로 사용되는 역행 오일러 기반 조절자에 비해 반복 횟수 안정성과 강건성 측면에서 뛰어나다는 것을 보여준다.
• 표준 방법이 자주 어려움을 겪는 고 Péclet 수의 난류-확산 문제에서도 이 방법은 높은 효율성을 유지한다.