[논문 리뷰] Fast Phase Retrieval from Local Correlation Measurements

Mark Iwen, Aditya Viswanathan외 1명|arXiv (Cornell University)|2015. 01. 10.

Advanced X-ray Imaging Techniques참고 문헌 48인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 복소 신호 ${\bf x} \in \mathbb{C}^d$ 를 전역 위상까지 복원하는 빠른 결정론적 단계 복원 알고리즘을 제안한다. 이 알고리즘은 $\mathcal{O}(d\log^4 d)$ 시간 내에 局소 상관 기반의 크기 측정값에서 복원을 수행한다. 국소 단계 차이에 대한 업그레이드된 선형 시스템과 각도 동기화를 사용하여 전체 신호 단계를 복원하며, 희소 신호의 경우 $\mathcal{O}(s\log^4 s \cdot \log d)$ 측정값을 사용해 부분선형 시간 복원을 가능하게 한다.

ABSTRACT

We develop a fast phase retrieval method which can utilize a large class of local phaseless correlation-based measurements in order to recover a given signal ${\bf x} \in \mathbb{C}^d$ (up to an unknown global phase) in near-linear $\mathcal{O} \left( d \log^4 d ight)$-time. Accompanying theoretical analysis proves that the proposed algorithm is guaranteed to deterministically recover all signals ${\bf x}$ satisfying a natural flatness (i.e., non-sparsity) condition for a particular choice of deterministic correlation-based measurements. A randomized version of these same measurements is then shown to provide nonuniform probabilistic recovery guarantees for arbitrary signals ${\bf x} \in \mathbb{C}^d$. Numerical experiments demonstrate the method's speed, accuracy, and robustness in practice -- all code is made publicly available. Finally, we conclude by developing an extension of the proposed method to the sparse phase retrieval problem; specifically, we demonstrate a sublinear-time compressive phase retrieval algorithm which is guaranteed to recover a given $s$-sparse vector ${\bf x} \in \mathbb{C}^d$ with high probability in just $\mathcal{O}(s \log^5 s \cdot \log d)$-time using only $\mathcal{O}(s \log^4 s \cdot \log d)$ magnitude measurements. In doing so we demonstrate the existence of compressive phase retrieval algorithms with near-optimal linear-in-sparsity runtime complexities.

연구 동기 및 목표

• 국소 상관 측정값에서 온 신호를 위한 계산 효율적인 단계 복원 방법을 개발한다.
• 새로운 업그레이드 및 각도 동기화 프레임워크를 사용해 비희소(평탄한) 신호의 결정론적 복원 보장을 제공한다.
• 희소 신호 $s$-sparse 신호를 위한 압축 단계 복원으로 방법을 확장하여 부분선형 런타임 복잡도를 달성한다.
• 이론적 분석과 수치 검증을 통해 노이즈에 대한 강건성과 정확성을 확보한다.
• 공개된 코드와 효율적인 알고리즘을 통해 실용적 구현을 가능하게 한다.

제안 방법

• $|j-i| < \delta$ 인 $x_i \overline{x_j}$ 를 포함하는 선형 시스템으로 이차 크기 측정값을 업그레이드하여 크기가 $(2\delta-1)d$ 인 블록-구조 시스템을 형성한다.
• $\mathcal{O}(\delta d)$ 개의 국소 상관 측정값을 사용해 빠른 해법기를 통해 업그레이드된 시스템을 효율적으로 해결한다.
• 국소 단계 차이를 신호 벡터 전역으로 전파하여 상대적 단계를 추정하기 위해 각도 동기화를 적용한다.
• 복원된 크기 $|x_j|$ 와 단계를 조합하여 원래 신호 $\bf x$ 를 재구성한다.
• 압축 센싱과 제안된 단계 복원 프레임워크를 융합하여 희소 신호로의 방법 확장을 수행한다.
• 확률적 복원 보장을 확보하기 위해 랜덤화된 측정 설계를 사용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 국소 상관 측정값만을 사용해 근사 선형 시간 내에 단계 복원을 수행할 수 있는가?
• RQ2 평탄한 신호의 결정론적 복원에 대해 국소 상관 데이터에서 어떤 이론적 보장을 확보할 수 있는가?
• RQ3 이 방법은 희소 신호에 대해 부분선형 런타임 복잡도로 압축 단계 복원으로 확장될 수 있는가?
• RQ4 알고리즘이 노이즈에 얼마나 강건한가? 유도 가능한 오차 한계는 무엇인가?
• RQ5 국소 단계 차이에서 전역 단계를 안정적이고 효율적으로 복원하기 위해 각도 동기화를 효과적으로 사용할 수 있는가?

주요 결과

• 알고리즘은 평탄성 조건을 만족하는 모든 $d$-차원 신호를 $\mathcal{O}(d\log^4 d)$ 시간 내에 결정론적으로 복원한다.
• 랜덤화된 변형은 임의의 신호 ${\bf x} \in \mathbb{C}^d$ 에 대해 비균일한 확률적 복원 보장을 제공한다.
• s-희소 신호의 경우, $\mathcal{O}(s\log^5 s \cdot \log d)$ 시간 내에 $\mathcal{O}(s\log^4 s \cdot \log d)$ 개의 크기 측정값을 사용해 복원을 달성한다.
• 알고리즘은 노이즈에 강건하며 수치 실험에서 높은 정확도와 빠른 속도를 보여준다.
• 이론적 분석은 주기적 경계 조건 하에서 업그레이드된 시스템 행렬이 잘 조절되어 있음을 확인한다.
• 이 프레임워크는 페티코그래픽 단계 복원 문제에 대해 알려진 바 없는 첫 번째 전역 강건 복원 보장을 가능하게 한다.