[논문 리뷰] Fast polynomial evaluation and composition

Guillaume Moroz|arXiv (Cornell University)|2013. 07. 22.

Polynomial and algebraic computation참고 문헌 4인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 Sage의 fast_polynomial 라이브러리에서 다변수 다항식을 위한 새로운 균형 잡힌 분할 정복 평가 기법을 소개한다. 이 기법은 레이지 높이를 최소화하고 2의 거듭제곱에서 발생하는 성능 저하 요인을 제거하여 평가 성능을 최적화한다. 이 기법은 템플릿 기반 일반 프로그래밍, OpenMP를 통한 다중 스레딩, 그리고 사전 계산된 빠른 거듭제곱을 통합하여 Flint과 같은 최신 라이브러리 수준의 성능을 달성한다.

ABSTRACT

The library \\emph{fast\\_polynomial} for Sage compiles multivariate polynomials for subsequent fast evaluation. Several evaluation schemes are handled, such as H\\"orner, divide and conquer and new ones can be added easily. Notably, a new scheme is introduced that improves the classical divide and conquer scheme when the number of terms is not a pure power of two. Natively, the library handles polynomials over gmp big integers, boost intervals, python numeric types. And any type that supports addition and multiplication can extend the library thanks to the template design. Finally, the code is parallelized for the divide and conquer schemes, and memory allocation is localized and optimized for the different evaluation schemes. This extended abstract presents the concepts behind the \\emph{fast\\_polynomial} library. The sage package can be downloaded at \\url{http://trac.sagemath.org/sage_trac/ticket/13358}.

연구 동기 및 목표

• 2의 거듭제곱에서 기존의 분할 정복 다항식 평가 방식에서 발생하는 성능 저하 문제를 해결하기 위해.
• 홀너와 에스트린 등의 기존 평가 방식을 하나의 함수 기반 추상화로 통합하고 확장하기 위해.
• 평가 트리에서 레이지 높이 개념을 도입하여 평가 중 일시적 메모리 사용을 최소화하기 위해.
• 템플릿 전문화를 통해 임의의 수치 유형에 대해 효율적이고 일반적이며 병렬적인 다항식 평가를 가능하게 하기 위해.
• Flint과 같은 저수준 최적화 라이브러리와 경쟁 가능한 고성능이고 확장 가능한 다항식 평가 라이브러리를 제공하기 위해.

제안 방법

• 평가 트리 구조는 함수 기반 추상화 f(k) = ⌊k/2⌋를 사용하여 다항식을 재귀적으로 분해함으로써 균형 잡힌 분할 정복 전략을 정의한다.
• 레이지 높이는 재귀적으로 계산되며, 노드에 두 개 이상의 자식이 있을 경우에만 증가하므로 로그형 메모리 사용을 보장한다.
• C++ 템플릿을 사용하여 덧셈과 곱셈 연산을 지원하는 임의의 수치 유형을 지원함으로써 확장성을 확보한다.
• OpenMP 지시어를 통해 분할 정복 기법에서 하위 트리의 평가를 병렬화한다.
• 평가 중 중복된 곱셈을 줄이기 위해 x^d의 거듭제곱을 빠른 거듭제곱 알고리즘을 사용해 사전 계산한다.
• 함수 기반 추상화를 통해 다양한 전략(예: 저차수 부분다항식에서는 홀너 방식으로 전환)을 원활하게 조합할 수 있다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 기존의 에스트린 스타일 기반 분할 정복 평가 방식에서 2의 거듭제곱에서 발생하는 성능 저하를 새로운 분할 정복 평가 기법이 제거할 수 있는가?
• RQ2 다항식 평가 중 일시적 저장소와 메모리 할당을 최소화하기 위해 평가 트리의 구조를 어떻게 최적화할 수 있는가?
• RQ3 템플릿 기반 C++ 라이브러리가 핸드오버된 저수준 최적화 라이브러리인 Flint과 비교해 어느 정도의 성능을 달성할 수 있는가?
• RQ4 OpenMP를 통한 병렬 처리가 다중 코어 환경에서 큰 다항식의 평가 속도를 상당히 향상시킬 수 있는가?
• RQ5 메모리 효율성과 계산 오버헤드 측면에서 레이지 높이 메트릭은 기존의 트리 높이와 어떻게 비교되는가?

주요 결과

• 균형 잡힌 분할 정복 기법은 기존의 에스트린 방식에서 발생하는 2의 거듭제곱에서의 평가 시간의 계단식 증가 현상을 제거한다.
• 모든 기법에서의 최대 레이지 높이는 항의 수에 대해 로그형이므로 O(log n)의 일시적 저장소를 보장한다.
• 홀너 기법은 레이지 높이가 0이며, 직접 평가, 에스트린, 균형 잡힌 기법 각각의 최대 레이지 높이는 1이다.
• 라이브러리의 성능은 특히 두 개의 스레드를 사용한 균형 잡힌 기법에서 최신 기술 수준의 Flint 라이브러리와 맞먹거나 이를 초월한다.
• 빠른 거듭제곱을 통한 거듭제곱 사전 계산은 특히 로그형으로서의 서로 다른 차수를 가진 에스트린 및 균형 잡힌 기법에서 중복된 곱셈을 줄여 효과적이다.
• 템플릿 기반 설계 덕분에 GMP 정수, Boost 구간, 파이썬 수치 유형을 포함한 새로운 수치 유형으로의 확장이 원활하게 가능하다.