[논문 리뷰] Fast quantum algorithm for differential equations

Mohsen Bagherimehrab, Kouhei Nakaji외 4명|arXiv (Cornell University)|2023. 06. 20.

Numerical Methods and Algorithms인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 시스템 크기 $N$ 에 대해 다항로그 복잡도이며 조건 수 $κ$ 에 독립적인, 매우 넓은 범위의 비동차 편미분방정식(PDE)을 해결하는 빠른 양자 알고리즘을 제안한다. 웨이브릿 기저를 좌표계로 사용함으로써, 조건 수를 균일하게 유 bounds 하는 대각 행렬 전처리기(preconditioner)를 가능하게 하여, 조건 수에 대해 하위선형 스케일링을 갖는 양자 특이값 변환(QSVT)을 통한 효율적인 양자 선형 시스템 해법을 허용한다. 핵심 기여는 조건 수가 악화된 PDE에 대해 고전적 방법에 비해 지수적 속도 향상을 달성하는 양자 알고리즘을 개발한 데 있다.

ABSTRACT

Partial differential equations (PDEs) are ubiquitous in science and engineering. Prior quantum algorithms for solving the system of linear algebraic equations obtained from discretizing a PDE have a computational complexity that scales at least linearly with the condition number $κ$ of the matrices involved in the computation. For many practical applications, $κ$ scales polynomially with the size $N$ of the matrices, rendering a polynomial complexity in $N$ for these algorithms. Here we present a quantum algorithm with a complexity that is polylogarithmic in $N$ but is independent of $κ$ for a large class of PDEs. Our algorithm generates a quantum state from which features of the solution can be extracted. Central to our methodology is using a wavelet basis as an auxiliary system of coordinates in which the condition number of associated matrices becomes independent of $N$ by a simple diagonal preconditioner. We present numerical simulations showing the effect of the wavelet preconditioner for several differential equations. Our work could provide a practical way to boost the performance of quantum simulation algorithms where standard methods are used for discretization.

연구 동기 및 목표

• 기존의 PDE를 해결하는 양자 알고리즘은 조건 수 $\kappa$ 에 대해 선형 스케일링을 보이며, 이는 악조건의 시스템에 대해 비효율적임을 해결하기 위해.
• 시스템 크기 $N$ 에 대해 다항로그 복잡도를 달성하면서도 $κ$ 에 독립적인 양자 알고리즘을 개발하여, 광범위한 PDE의 지수적 속도 향상을 가능하게 하기 위해.
• 웨이브릿의 수학적 성질을 활용하여, 시스템 크기 $N$ 과 관계없이 항상 유계인 조건 수를 갖는 전처리기를 구축하기 위해.
• 웨이브릿 기반 전처리기가 비대칭 또는 계수 변화가 있는 미분 연산자에 대해서도 양자 특이값 변환(QSVT)을 통한 효율적인 양자 행렬 역행렬 계산을 가능하게 함을 보여주기 위해.

제안 방법

• 이 방법은 이산화된 PDE에 대해 웨이브릿 기저를 대체 좌표계로 사용하여, 시스템 행렬을 조건 수가 $N$ 에 독립적으로 유계인 형태로 변환한다.
• 대각 웨이브릿 전처리기를 적용함으로써, 행렬 크기 변화에 관계없이 조건 수가 균일하게 유계(예: 하르 웨이브릿의 경우 상수)를 유지하여 시스템을 효과적으로 안정화시킨다.
• 전처리된 행렬은 이후 양자 특이값 변환(QSVT)을 통해 처리되며, 이는 행렬 역행렬의 다항근사에 기반한 효율적인 양자 선형 시스템 해법을 가능하게 한다.
• 영역이 0에서 멀리 떨어진 구간에서 역함수 및 스텝 함수의 다항근사를 구성함으로써, 정확도를 $\varepsilon$ 이내로 유지하면서도 연산자 노름이 유계임을 보장한다.
• 복합 다항식 $P_{\varepsilon/c,I_c}^{\textsc{mi}}(x)$ 를 사용하여 $1/(2cx)$ 를 근사함으로써, $\varepsilon/c$-정확도를 달성한다.
• 이 방법은 두 번째 차수 및 계수 변화가 있는 미분 연산자를 포함한 광범위한 PDE 클래스에 적용 가능하며, 웨이브릿 전처리기가 항상 유계인 조건 수를 제공하는 한에 한하여 적용 가능하다.

Figure 1: (a) The diagonal wavelet preconditioner with size $2^{n}$ ; $n=4$ is shown in (b). The matrix has a block-diagonal structure with blocks of exponentially increasing size. Diagonals are constant within each block but are exponentially decreasing from block to block. (c) Condition numbers wi

실험 결과

연구 질문

• RQ1 조건 수 $κ$ 에 독립적이며 시스템 크기 $N$ 에 대해 다항로그 복잡도를 갖는 양자 알고리즘이 매우 넓은 범위의 PDE를 해결할 수 있는가?
• RQ2 웨이브릿 기반 전처리기가 이산화된 PDE 행렬의 조건 수가 시스템 크기 $N$ 과 관계없이 항상 유계로 유지됨을 보장할 수 있는가?
• RQ3 조건 수 $κ$ 가 $N^2$ 으로 증가하는 악조건의 PDE 시스템에 대해 QSVT와 다항근사를 사용하여 효율적인 양자 행렬 역행렬 계산이 가능한가?
• RQ4 웨이브릿 좌표계에서의 구조적 대각 전처리기 사용이 $κ$ 에 대해 하위선형 스케일링을 가능하게 하며, 기존의 양자 복잡도 하한선과 일치하는가?

주요 결과

• 웨이브릿 전처리기는 이산화된 PDE 행렬의 조건 수가 시스템 크기 $N$ 과 무관하게 항상 유계(예: 하르 웨이브릿의 경우 상수)로 유지됨을 보장한다.
• 수치 시뮬레이션 결과, 웨이브릿 전처리기가 $\mathcal{L}_1 = d^2/dx^2$, $\mathcal{L}_2 = d^2/dx^2 - d/dx + 1$, $\mathcal{L}_3 = -d/dx(\cosh(x/4)d/dx) + e^x$ 등의 연산자에 대해 조건 수를 효과적으로 감소시키며, $N$ 이 증가함에 따라도 조건 수가 유계로 유지됨을 확인하였다.
• 양자 알고리즘은 시스템 크기 $N$ 에 대해 다항로그 복잡도이며 $κ$ 에 독립적인 계산 복잡도를 달성하여, 악조건의 PDE에 대해 고전적 방법에 비해 지수적 속도 향상을 가능하게 한다.
• 이 방법은 특정한 PDE 클래스—'빠르게 풀 수 있는' PDE들—에만 적용되기 때문에 기존의 양자 복잡도 하한선을 위반하지 않는다. 이는 '빠르게 프로그래밍 가능한' 해밀토니안과 유사하다.
• 역함수 및 스텝 함수의 다항근사를 사용한 QSVT의 사용은 오차를 $\varepsilon$ 이내로 제어하면서도 정확하고 유계인 양자 컴퓨터 상의 행렬 역행렬 계산을 가능하게 한다.
• 웨이브릿 전처리기가 항상 유계인 조건 수를 제공하는 한, 이 알고리즘은 두 번째 차수 및 계수 변화가 있는 미분 연산자를 포함한 광범위한 비동차 PDE 클래스에 적용 가능하다.

Figure 2: (a) Quantum circuit for generating the solution state $\ket{\psi}$ in Eq. ( 4 ). Multi-qubit gates do not act on dashed-line qubits. qmi block-encodes the inverse of the preconditioned matrix as in Eq. ( 7 ) and $\mathcal{A}$ denotes amplitude amplification. (b) Implementing $U^{\pm}$ in E