[논문 리뷰] Faster Algorithms for Integer Programs with Block Structure

Friedrich Eisenbrand, Christoph Hunkenschröder외 1명|arXiv (Cornell University)|2018. 01. 01.

Optimization and Search Problems인용 수 17

한 줄 요약

이 논문은 블록 구조를 가진 정수계획법 문제를 위한 더 빠른 알고리즘을 제시한다. 일반화된 n-폴드 및 트리-폴드 정수계획법을 포함하며, 스토이니츠 보조정리(Steinitz lemma)를 활용해 그레이버 기저 원소에 대한 새로운 ℓ1-노름 상한을 도입한다. 주요 결과는 $ n^2 t^2 \rho \cdot (rs\Delta)^{O(rs^2 + sr^2)} $의 실행 시간을 달성하며, 이는 이전의 $ n^3 t^3 \rho \cdot \Delta^{O(t^2 s)} $ 상한보다 향상되었고, 열의 수 $ t $ 에 대해 지수적 의존성을 가지지 않는다.

ABSTRACT

We consider integer programming problems max {c^Tx : A x = b, l <= x <= u, x in Z^{nt}} where A has a (recursive) block-structure generalizing n-fold integer programs which recently received considerable attention in the literature. An n-fold IP is an integer program where A consists of n repetitions of submatrices A in Z^{r × t} on the top horizontal part and n repetitions of a matrix B in Z^{s × t} on the diagonal below the top part. Instead of allowing only two types of block matrices, one for the horizontal line and one for the diagonal, we generalize the n-fold setting to allow for arbitrary matrices in every block. We show that such an integer program can be solved in time n^2t^2 phi x (r s delta)^{O(rs^2+ sr^2)} (ignoring logarithmic factors). Here delta is an upper bound on the largest absolute value of an entry of A and phi is the largest binary encoding length of a coefficient of c. This improves upon the previously best algorithm of Hemmecke, Onn and Romanchuk that runs in time n^3t^3 phi x delta^{O(st(r+t))}. In particular, our algorithm is not exponential in the number t of columns of A and B. Our algorithm is based on a new upper bound on the l_1-norm of an element of the Graver basis of an integer matrix and on a proximity bound between the LP and IP optimal solutions tailored for IPs with block structure. These new bounds rely on the Steinitz Lemma. Furthermore, we extend our techniques to the recently introduced tree-fold IPs, where we again present a more efficient algorithm in a generalized setting.

연구 동기 및 목표

• 재귀적 블록 구조를 가진 정수계획법 문제를 위한 더 빠른 알고리즘을 개발한다. 이는 n-폴드 및 트리-폴드 정수계획법을 일반화한다.
• 이전 알고리즘에서 열의 수 $ t $ 에 대해 지수적 의존성을 가지는 문제를 해결한다.
• 블록 구조를 가진 행렬에 대해 그레이버 기저 원소의 ℓ1-노름에 대한 더 견고한 상한을 수립한다.
• 블록 구조에 맞게 조정된 LP와 IP 해 사이의 근접도 상한을 활용하여 효율적인 증강 알고리즘을 설계한다.

제안 방법

• 스토이니츠 보조정리를 활용해 그레이버 기저 원소의 ℓ1-노름에 대한 새로운 상한을 유도하여, $ (2m\Delta + 1)^m $ 을 도출하며, 이는 열의 수 $ n $ 에 영향을 받지 않는다.
• 이 상한을 적용하여, 새로운 노름 상한에 의해 검색 공간을 제한함으로써 블록 구조를 가진 정수계획법 문제에 대해 효율적인 증강 알고리즘을 설계한다.
• LP와 IP 최적 해 사이의 근접도 결과를 사용하여 $ \|x^* - z^*\|_1 \leq nL_\tau $ 를 보이며, 증강 단계의 수를 줄인다.
• 각 레이어가 하나의 열에 대응하는 동적 프로그래밍 그래프를 구성하며, 각 레이어의 크기는 $ (2\Delta L_\tau + 1)^\sigma $ 이하이며, 여기서 $ \sigma $ 는 레이어들에 걸친 총 행 수이다.
• 일반화된 블록 구조를 활용하여 사이클을 부분행렬의 그레이버 기저 원소로 분해하고, 부분 합이 유한하게 유지되도록 스토이니츠 수열을 통해 재정렬한다.
• 트리-폴드 정수계획법에 대해 재귀적으로 적용하기 위해, 하위 트리-폴드 행렬의 그레이버 기저 원소를 상한하고, 동일한 스토이니츠 기반 분해를 통해 조합한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 블록 구조를 가진 정수계획법 문제에서 그레이버 기저 원소의 ℓ1-노름은 열의 수 $ n $ 에 독립적으로 상한될 수 있는가?
• RQ2 블록 구조를 가진 정수계획법 문제에 대해, LP 타월과 정수 최적 해 사이의 가장 날카로운 근접도 상한은 무엇인가?
• RQ3 블록 구조를 가진 정수계획법 문제에 대한 증강 알고리즘의 실행 시간을 열의 수 $ t $ 에 대해 다항식 시간으로 만들 수 있는가? 즉, 지수적 의존성을 피할 수 있는가?
• RQ4 스토이니츠 보조정리는 재귀적 블록 구조를 가진 행렬에서 그레이버 기저 원소에 대한 새로운 상한을 유도하는 데 어떻게 적용될 수 있는가?
• RQ5 n-폴드 정수계획법에 사용된 기법은 트리-폴드 및 더 일반적인 블록 구조를 가진 정수계획법으로 일반화되어 더 높은 효율성을 달성할 수 있는가?

주요 결과

• 블록 구조를 가진 행렬 $ A \in \mathbb{Z}^{m \times n} $ 의 임의의 그레이버 기저 원소의 ℓ1-노름은 $ (2m\Delta + 1)^m $ 이하로 상한되며, 이는 $ n $ 에 영향을 받지 않는다. 여기서 $ \Delta $ 는 $ A $ 의 최대 절댓값 원소이다.
• n-폴드 정수계획법에 대해 $ n $ 개의 블록이 있는 경우, 알고리즘의 실행 시간은 $ n^2 t^2 \rho \cdot (rs\Delta)^{O(rs^2 + sr^2)} $ 이며, 이는 이전의 $ n^3 t^3 \rho \cdot \Delta^{O(t^2 s)} $ 보다 향상되었다.
• LP와 IP 최적 해 사이의 근접도 상한은 $ \|x^* - z^*\|_1 \leq nL_\tau $ 이며, 여기서 $ L\_\tau $ 는 트리-폴드 구조의 그레이버 기저 원소에 대한 상한이다.
• 트리-폴드 정수계획법의 경우, 알고리즘의 실행 시간은 $ n^2 \rho \log^2 n \cdot (s\Delta)^{O(\sigma s)} + \text{LP} $ 이며, 여기서 $ \sigma $ 는 레이어들에 걸친 행 수의 합이고 $ s $ 는 레이어 크기들의 곱이다.
• 그레이버 기저 원소에 대한 새로운 상한 덕분에, 훨씬 더 작은 검색 공간에서 동적 프로그래밍을 수행할 수 있어 증강 단계의 수가 감소하고 전체 효율성이 향상된다.
• 스토이니츠 기반 재정렬을 통해 그레이버 기저 원소를 재귀적으로 상한하고, 이를 활용하여 임의의 재귀적 블록 구조(예: 트리-폴드 정수계획법)로 일반화할 수 있다.