[논문 리뷰] Faster all-pairs shortest paths via circuit complexity

Ryan Williams|arXiv (Cornell University)|2013. 12. 23.

Complexity and Algorithms in Graphs참고 문헌 46인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 밀도 높은 그래프에서 모든 정점 쌍 간 최단경로(APSP) 문제를 위한 새로운 랜덤화 알고리즘을 제시하며, 회로 복잡도 기법—특히 Razborov-Smolensky 다항식을 활용하여 min-plus 행렬 곱을 Coppersmith의 알고리즘을 통해 효율적인 부울 행렬 곱으로 환원함으로써 $ n^3 / 2^{ ext{poly}( ext{log } n)^{1/2}} $의 런타임을 달성한다. 이 결과는 일반 APSP에 대해 오랫동안 지속된 $ n^3 / ext{poly}( ext{log } n) $ 장벽을 돌파한다.

ABSTRACT

We present a new randomized method for computing the min-plus product (a.k.a., tropical product) of two $n imes n$ matrices, yielding a faster algorithm for solving the all-pairs shortest path problem (APSP) in dense $n$-node directed graphs with arbitrary edge weights. On the real RAM, where additions and comparisons of reals are unit cost (but all other operations have typical logarithmic cost), the algorithm runs in time \[\frac{n^3}{2^{Ω(\log n)^{1/2}}}\] and is correct with high probability. On the word RAM, the algorithm runs in $n^3/2^{Ω(\log n)^{1/2}} + n^{2+o(1)}\log M$ time for edge weights in $([0,M] \cap {\mathbb Z})\cup\{\infty\}$. Prior algorithms used either $n^3/(\log^c n)$ time for various $c \leq 2$, or $O(M^αn^β)$ time for various $α> 0$ and $β> 2$. The new algorithm applies a tool from circuit complexity, namely the Razborov-Smolensky polynomials for approximately representing ${\sf AC}^0[p]$ circuits, to efficiently reduce a matrix product over the $(\min,+)$ algebra to a relatively small number of rectangular matrix products over ${\mathbb F}_2$, each of which are computable using a particularly efficient method due to Coppersmith. We also give a deterministic version of the algorithm running in $n^3/2^{\log^δ n}$ time for some $δ> 0$, which utilizes the Yao-Beigel-Tarui translation of ${\sf AC}^0[m]$ circuits into "nice" depth-two circuits.

연구 동기 및 목표

• 밀도 높은 그래프에서 임의의 간선 가중치를 가진 모든 정점 쌍 간 최단경로(APSP) 문제에 대해 오랫동안 지속된 $ n^3 / ext{poly}( ext{log } n) $ 런타임 장벽을 극복하기 위해.
• 특히 $ ext{AC}^0[p] $ 회로를 위한 회로 복잡도 기법이 min-plus 행렬 곱셈—APSP의 핵심—을 가속화하는 데 사용될 수 있는지 탐색하기 위해.
• 결합된 $ ( ext{min}, +) $ 행렬 곱을 $ O(n^3) $ 보다 빠르게 계산할 수 있도록, 이를 소수의 구조화된 부울 행렬 곱으로 환원함으로써 가능성을 보여주기 위해.
• Yao-Beigel-Tarui 회로 번역을 사용하여 $ ext{AC}^0[m] $ 회로를 변환함으로써 $ n^3 / 2^{ ext{log}^eta n} $ 시간에 실행되는 결정론적 변형 알고리즘을 제공하기 위해.
• 현재 기법으로는 $ o(n^3) $ APSP 알고리즘은 불가능하다는 일반적인 추측에 도전하기 위해, 회로 복잡도와 행렬 곱 알고리즘 간의 새로운 연결 고리를 도입하기 위해.

제안 방법

• 결합된 $ ( ext{min}, +) $ 내적을 계산하는 $ ext{AC}^0[2] $ 회로를 근사적으로 표현하기 위해 Razborov-Smolensky 다항식을 사용한다.
• $ n imes n $ min-plus 행렬 곱을 $ ilde{O}(n) $ 개의 직사각형 행렬 곱으로 환원하며, 각각 $ ext{GF}(2) $ 상에서 크기가 $ n imes d $이고 $ d = 2^{ ext{poly}( ext{log } n)} $ 인 행렬을 사용한다.
• $ n imes d $ 및 $ d imes n $ 행렬을 $ ext{GF}(2) $ 상에서 곱하는 데 매우 효율적인 Coppersmith의 알고리즘을 적용하며, 이는 작은 $ d $ 에 대해 $ n^{2+o(1)} $ 시간에 실행된다.
• $ ext{AC}^0[2] $ 회로의 다항식 근사화를 활용하여 랜덤화된 환원 전략을 적용함으로써 높은 확률로 정확성을 보장한다.
• 결정론적 버전을 위해 Yao-Beigel-Tarui 방법을 사용하여 $ ext{AC}^0[m] $ 회로를 깊이 2인 회로로 변환함으로써 더 느리지만 보장된 하위 cubic 런타임을 확보한다.
• 회로에서 다항식으로의 변환과 신중한 오차 제어 메커니즘을 조합하여 환원 과정에서 min-plus 곱이 유지됨을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 회로 복잡도 기법을 사용하여 모든 정점 쌍 간 최단경로 문제에 대해 진정으로 하위 cubic 시간을 달성할 수 있는가?
• RQ2 결합된 $ ( ext{min}, +) $ 행렬 곱을 더 빠르게 계산할 수 있는 소수의 구조화된 부울 행렬 곱으로 환원할 수 있는가?
• RQ3 대부분의 APSP에 대해 $ n^3 / ext{poly}( ext{log } n) $ 런타임 장벽을 대수적 및 회로 이론적 통찰을 통해 돌파할 수 있는가?
• RQ4 전통적인 동적 프로그래밍 또는 룩업 기반 방법보다 $ ( ext{min}, +) $ 내적에 더 효율적인 표현 방식이 존재하는가?
• RQ5 $ ext{AC}^0[2] $ 회로와 min-plus 곱 사이의 연결 고리가 APSP-난이도 클래스의 다른 문제들에 대해 더 빠른 알고리즘을 이끌 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 실수 램 환경에서 $ n^3 / 2^{ ext{poly}( ext{log } n)^{1/2}} $ 시간에 실행되며, 높은 확률로 정확한 결과를 보장하는 랜덤화 알고리즘을 제시한다.
• 정수 간선 가중치가 $ [0, M] $ 범위에 있는 워드 램 환경에서는 알고리즘이 $ n^3 / 2^{ ext{poly}( ext{log } n)^{1/2}} + n^{2+o(1)} ext{log } M $ 시간에 실행된다.
• 알고리즘은 min-plus 곱을 $ ilde{O}(n) $ 개의 직사각형 행렬 곱으로 환원하며, 각각 $ ext{GF}(2) $ 상에서 크기가 $ n imes d $이고 $ d = 2^{ ext{poly}( ext{log } n)} $ 인 행렬을 사용한다.
• Coppersmith의 알고리즘을 사용하여 각 $ n imes d $ 및 $ d imes n $ 부울 행렬 곱을 $ n^{2+o(1)} $ 시간에 계산함으로써 전체적인 성능 향상을 달성한다.
• Yao-Beigel-Tarui 번역을 사용하여 $ ext{AC}^0[m] $ 회로를 변환함으로써 $ n^3 / 2^{ ext{log}^eta n} $ 시간에 실행되는 결정론적 변형 알고리즘이 존재하며, 이는 어떤 $ eta > 0 $ 에 대해 성립한다.
• 이 작업은 회로 복잡도와 행렬 곱 알고리즘 간의 새로운 연결 고리를 확립하며, $ ( ext{min}, +) $ 행렬 곱셈이 정수 행렬 곱셈보다 본질적으로 더 쉬울 수 있음을 시사한다.