[논문 리뷰] Faster classical Boson Sampling

Peter Clifford, Raphaël Clifford|Bristol Research (University of Bristol)|2020. 05. 07.

Quantum Computing Algorithms and Architecture인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 랜덤 행렬의 행 중복도 분포를 활용하여 평균 케이스 성능을 크게 향상시킨 고전적 보존 샘플링 알고리즘을 제시한다. 다중집합 중복도의 확률적 분석과 효율적인 행렬식 계산을 통해, $ m = n $ 일 때 약 $ O(n \cdot 1.69^n) $ 의 평균 케이스 시간 복잡도를 달성하여 양자 우월성의 증명에 필요한 문제 크기를 크게 감소시킨다.

ABSTRACT

Since its introduction Boson Sampling has been the subject of intense study in the world of quantum computing. The task is to sample independently from the set of all $n imes n$ submatrices built from possibly repeated rows of a larger $m imes n$ complex matrix according to a probability distribution related to the permanents of the submatrices. Experimental systems exploiting quantum photonic effects can in principle perform the task at great speed. In the framework of classical computing, Aaronson and Arkhipov (2011) showed that exact Boson Sampling problem cannot be solved in polynomial time unless the polynomial hierarchy collapses to the third level. Indeed for a number of years the fastest known exact classical algorithm ran in $O({m+n-1 \choose n} n 2^n )$ time per sample, emphasising the potential speed advantage of quantum computation. The advantage was reduced by Clifford and Clifford (2018) who gave a significantly faster classical solution taking $O(n 2^n + \operatorname{poly}(m,n))$ time and linear space, matching the complexity of computing the permanent of a single matrix when $m$ is polynomial in $n$. We continue by presenting an algorithm for Boson Sampling whose average-case time complexity is much faster when $m$ is proportional to $n$. In particular, when $m = n$ our algorithm runs in approximately $O(n\cdot1.69^n)$ time on average. This result further increases the problem size needed to establish quantum computational supremacy via Boson Sampling.

연구 동기 및 목표

• 현재 실험에서 일반적인 $ m \approx n $ 영역에서 보존 샘플링을 시뮬레이션하는 데 드는 고전적 계산 비용을 줄이는 것.
• 정확한 보존 샘플링의 평균 케이스 시간 복잡도를 향상시켜 이론적 양자 우월성과 실용적 고전적 시뮬레이션 간 격차를 좁히는 것.
• 보존 샘플링을 통한 양자 계산 우월성을 입증하기 위해 필요한 문제 크기의 더 날카운 경계를 제공하는 것.
• 랜덤 행렬에서 선택된 행의 다중집합 중복도 배열에 대한 행렬식 계산의 기대 시간 복잡도를 분석하는 것.

제안 방법

• 선택된 행의 중복도 배열 $ \mathbf{s}^{(n)} $ 가 $ \Phi_{m,n}^* $, 즉 $ n $ 을 $ m $ 개의 부분으로 나누는 정수 분할의 집합에 균일하게 분포한다고 가정하는 확률 모델을 사용한다.
• 레미마 2 를 적용하여 행렬식 평가의 시간 복잡도를 제한하는 $ \prod_{\nu=1}^m (s_\nu^{(n)} + 1) $ 의 기대값을 계산한다.
• 정리 3 을 사용하여 $ k \times k $ 부분행렬에 대한 행렬식 계산의 기대 시간 복잡도를 유도하며, 항등식 $ \mathbb{E}\left[\prod (s_\nu^{(k)} + 1)\right] = \binom{m+k-1}{k}^{-1} \binom{2m+k-1}{k} $ 를 활용한다.
• 각 단계 $ k \in [n] $ 에서 행렬식 계산에 소요되는 기대 시간을 합산하고 점근적 분석을 통해 총 기대 시간 복잡도를 유도한다.
• 스티르링의 근사법을 적용하여 $ m = \theta n $ 일 때 기대 시간 복잡도 표현을 점근적으로 단순화하고, 폐쇄형 지수적 비율을 도출한다.
• 정리 5 를 사용하여 전체 보존 샘플링 알고리즘의 평균 케이스 시간 복잡도를 $ \mathcal{O}\left( \frac{n(m+n)}{m} \binom{m+n}{n+1}^{-1} \binom{2m+n}{n+1} + n^2 m \right) $ 로 경계한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 출력 모드 수 $ m $ 가 광자 수 $ n $ 과 비례할 때 고전적 보존 샘플링의 평균 케이스 시간 복잡도는 무엇인가?
• RQ2 기대로 선택된 서로 다른 행의 수가 보존 샘플링에서 행렬식 평가의 계산 비용에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ3 행 중복도 분포의 구조를 활용함으로써, 이전의 최악의 경우 $ \mathcal{O}(n 2^n) $ 의 경계를 뛰어넘어 고전적 보존 샘플링의 평균 케이스 성능을 크게 향상시킬 수 있는가?
• RQ4 모수 $ m = n $ 일 때 기대 시간 복잡도의 점근적 성장률은 무엇이며, 이는 이전의 고전적 알고리즘과 어떻게 비교되는가?
• RQ5 기대 곱 $ \prod_{\nu=1}^m (s_\nu^{(n)} + 1) $ 이 고전적 보존 샘플링 알고리즘의 성능에 얼마나 큰 영향을 미치는가?

주요 결과

• 모수 $ m = n $ 일 때, 제안된 알고리즘의 평균 케이스 시간 복잡도는 약 $ O(n \cdot 1.69^n) $ 이며, 이는 이전의 $ O(n 2^n) $ 최악의 경우 경계보다 크게 향상된 것이다.
• $ m = n $ 일 때 $ \prod_{\nu=1}^m (s_\nu^{(n)} + 1) $ 의 기대값은 $ \sim 1.15 \cdot (1.69)^n $ 으로 증가하며, 이는 행렬식 계산의 평균 케이스 비용을 직접 결정한다.
• $ m = \theta n $ 일 때 점근적 시간 복잡도는 $ \mathcal{O}\left( n \left[ \frac{(2\theta+1)^{2\theta+1}}{(4\theta)^\theta (\theta+1)^{\theta+1}} \right]^n \right) $ 로 표현되며, $ \theta = 1 $ 일 때 $ O(n \cdot 1.69^n) $ 으로 간소화된다.
• 알고리즘의 평균 케이스 복잡도는 서로 다른 행 선택의 기대 수와 다중집합 구성의 구조를 기반으로 하며, 조합 항등식과 스틸링의 근사를 사용하여 도출된다.
• 이 결과는 보존 샘플링을 통한 양자 계산 우월성을 입증하기 위해 필요한 문제 크기가 이전에 추정된 것보다 더 커야 한다는 것을 시사한다. 고전적 시뮬레이션이 예상보다 더 큰 $ n $ 에서 가능해지기 때문이다.
• 분석 결과, $ k \times k $ 부분행렬에 대한 행렬식 계산의 기대 시간은 $ \mathcal{O}\left( k \cdot \binom{m+k-1}{k}^{-1} \binom{2m+k-1}{k} \right) $ 로 표현되며, 이는 총 기대 시간을 경계하는 데 사용된다.