[논문 리뷰] Faster Deciding MSO Properties of Trees of Fixed Height, and Some Consequences

Jakub Gajarský, Petr Hliněný|arXiv (Cornell University)|2012. 04. 23.

Formal Methods in Verification인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 변수 수에 대한 초거듭제곱 함수로 유계되는 크기의 커널 구조를 도입하여 높이가 유계된 트리에서 단항 제2차 논리(MSO)에 대한 더 빠른 모델 체킹 알고리즘을 제시한다. 이는 MSO2가 높이가 유계된 트리인 그래프와 MSO1이 유계된 슈루브깊이를 가진 그래프에서의 결정 가능성 결과를 향상시키며, 제한된 슈루브깊이 클래스에서 일阶논리(FO)와 MSO1이 동등한 표현력을 가짐을 입증한다.

ABSTRACT

We prove, in the universe of trees of bounded height, that for any MSO formula with m variables there exists a set of kernels such that the size of each of these kernels can be bounded by an elementary function of m. This yields a faster MSO model checking algorithm for trees of bounded height than the one for general trees. From that we obtain, by means of interpretation, corresponding results for the classes of graphs of bounded tree-depth (MSO2) and shrub-depth (MSO1), and thus we give wide generalizations of Lampis ’ (ESA 2010) and Ganian’s (IPEC 2011) results. In the second part of the paper we use this kernel structure to show that FO has the same expressive power as MSO1 on the graph classes of bounded shrub-depth. This makes bounded shrub-depth a good candidate for characterization of the hereditary classes of graphs on which FO and MSO1 coincide, a problem recently posed by Elberfeld, Grohe, and Tantau (LICS 2012).

연구 동기 및 목표

• 고정된 높이를 가진 트리에 대한 더 효율적인 MSO 모델 체킹 알고리즘을 개발하기 위해.
• Lampis(2010)와 Ganian(2011)의 유계 트리깊이 및 슈루브깊이 그래프에 대한 이전 결과를 일반화하기 위해.
• 유전적 그래프 클래스에서 일阶논리(FO)와 단항 제2차 논리(MSO1) 간의 표현 동치성을 탐색하기 위해.
• FO와 MSO1이 일치하는 경계를 특성화하기 위해, 특히 슈루브깊이의 맥락에서 고려하기 위해.
• 유계 슈루브깊이 그래프 클래스에서 MSO1과 FO가 동일한 표현력을 가짐을 입증하기 위해.

제안 방법

• 높이가 유계된 트리에서 MSO 공식에 대해 커널 구조를 도입하며, 각 커널의 크기가 변수 수에 대한 초거듭제곱 함수로 유계됨을 보장한다.
• 해석 기법을 사용하여 트리에서 유계 트리깊이 그래프(MSO2) 및 유계 슈루브깊이 그래프(MSO1)로 결과를 이전한다.
• 커널 구조를 활용해 유계 높이 트리에 대한 더 빠른 MSO 모델 체킹 알고리즘을 설계한다.
• 논리적 해석을 적용하여 트리에서의 결정 가능성 결과를 더 넓은 그래프 클래스로 확장한다.
• 커널 기반 특성화를 사용하여 슈루브깊이 클래스에서 FO와 MSO1의 논리적 표현력을 분석한다.
• 커널 구조를 활용하여 유전적 유계 슈루브깊이 그래프 클래스에서 FO와 MSO1이 동등한 표현력을 가짐을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유계 높이 트리에서의 MSO 모델 체킹은 일반 트리보다 현저히 더 빠르게 만들 수 있는가?
• RQ2 유계 높이 트리에서의 결과가 논리적 해석을 통해 유계 트리깊이 및 슈루브깊이 그래프로 확장되는가?
• RQ3 일阶논리와 단항 제2차 논리(MSO1)가 동일한 표현력을 가지는 자연스러운 그래프 클래스가 존재하는가?
• RQ4 어떤 그래프의 구조적 성질이 FO와 MSO1이 상호 정의 가능하게 만드는가?
• RQ5 유계 슈루브깊이는 FO와 MSO1이 일치하는 최대의 유전적 클래스로 특성화될 수 있는가?

주요 결과

• 모든 변수 수가 m인 MSO 공식에 대해, 높이가 유계된 트리에서 변수 수에 대한 초거듭제곱 함수로 유계되는 크기의 커널 구조가 존재한다.
• 유계 높이 트리에 대한 결과 모델 체킹 알고리즘이 일반 트리에 대한 기존 알고리즘보다 더 빠르게 작동한다.
• 커널 기반 접근법을 통해 유계 트리깊이 그래프에서의 효율적 MSO2 모델 체킹이 가능해진다.
• 이 방법은 유계 슈루브깊이 그래프에서의 효율적 MSO1 모델 체킹을 가능하게 하며, Lampis와 Ganian의 이전 결과를 일반화한다.
• 일阶논리(FO)와 MSO1은 유계 슈루브깊이 그래프의 유전적 클래스에서 동일한 표현력을 가진다.
• 유계 슈루브깊이는 FO와 MSO1이 일치하는 유전적 그래프 클래스의 완전한 특성화로 강력한 후보로 부상한다.