[논문 리뷰] Faster Pairing Computation

Christophe Arène, Tanja Lange외 2명|arXiv (Cornell University)|2009. 04. 06.

Cryptography and Residue Arithmetic참고 문헌 19인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 에드워즈 곡선과 위어스트라스 곡선에서 페어링 계산을 위한 밀러 알고리즘에서 배수화와 덧셈에 대한 최적화된 명시적 공식을 제안한다. 에드워즈 곡선 산술을 기하학적으로 재해석하고, 새로운 계수 계산 방법을 도출함으로써, 제안된 공식은 이전의 에드워즈 곡선 방법보다 더 빠른 페어링 평가를 달성하며, 위어스트라스 곡선 공식과도 경쟁 가능하다. 이는 임bedding 차수 k = 6인 새로운 페어링 友好的한 비틀린 에드워즈 곡선을 포함한다.

ABSTRACT

Abstract. This paper proposes new explicit formulas for the doubling and addition step in Miller’s algorithm to compute pairings. For Edwards curves the formulas come from a new way of seeing the arithmetic. We state the first geometric interpretation of the group law on Edwards curves by presenting the functions which arise in the addition and doubling. Computing the coefficients of the functions and the sum or double of the points is faster than with all previously proposed formulas for pairings on Edwards curves. They are even competitive with all published formulas for pairing computation on Weierstrass curves. We also speed up pairing computation on Weierstrass curves in Jacobian coordinates. Finally, we present examples of pairing-friendly twisted Edwards curves with embedding degree k = 6.

연구 동기 및 목표

• 밀러 알고리즘의 점 배수화 및 덧셈 단계를 위한 새로운 명시적 공식을 유도하여 타원곡선에서의 페어링 계산을 가속화한다.
• 페어링 계산에 사용되는 함수를 통해 에드워즈 곡선의 군 법칙에 대한 기하학적 해석을 제공한다.
• 기존의 위어스트라스 곡선 페어링 공식 수준에 도달하거나 이를 초월하는 성능을 확보하기 위해 에드워즈 곡선의 성능을 향상시킨다.
• 제라미안 좌표를 사용하여 위어스트라스 곡선에서의 페어링 계산을 최적화한다.
• 임베딩 차수 k = 6인 페어링 친화적 비틀린 에드워즈 곡선의 예를 구성한다.

제안 방법

• 에드워즈 곡선의 군 법칙에 대한 새로운 대수적 및 기하학적 관점에서, 점의 배수화 및 덧셈을 위한 새로운 산술 공식을 유도한다.
• 밀러 알고리즘에서 발생하는 함수를 명시적으로 표현함으로써, 효율적인 계수 계산과 점 연산을 가능하게 한다.
• 공식 간소화를 통한 필드 연산 최소화를 통해 페어링 함수 평가를 최적화한다.
• 제라미안 좌표에서의 위어스트라스 곡선에 유사한 최적화 기법을 적용하여 성능을 향상시킨다.
• 임베딩 차수 k = 6인 페어링 기반 암호화에 적합한 비틀린 에드워즈 곡선을 구성한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 에드워즈 곡선 산술을 어떻게 재해석하여 더 빠른 페어링 계산 공식을 도출할 수 있는가?
• RQ2 에드워즈 곡선의 군 법칙을 뒷받침하는 기하학적 통찰은 무엇이며, 이를 페어링 알고리즘에 어떻게 활용할 수 있는가?
• RQ3 공식 최적화를 통해 에드워즈 곡선에서의 페어링 계산을 위어스트라스 곡선 수준으로 경쟁 가능하게 만들 수 있는가?
• RQ4 제안된 공식은 에드워즈 곡선과 위어스트라스 곡선 양쪽에서 기존 방법 대비 어떤 성능 향상을 보이는가?
• RQ5 임베딩 차수 k = 6인 페어링 친화적 비틀린 에드워즈 곡선의 성질과 구성 기준은 무엇인가?

주요 결과

• 제안된 에드워즈 곡선 점 연산을 위한 공식은 이전에 발표된 모든 에드워즈 곡선 페어링 계산 공식보다 빠르다.
• 에드워즈 곡선을 위한 신규 공식은 현재까지 알려진 위어스트라스 곡선 페어링 계산 공식 중 가장 빠른 것들과도 경쟁 가능하다.
• 밀러 알고리즘에서 사용되는 명시적 함수를 통해 에드워즈 곡선의 군 법칙에 대한 기하학적 해석이 도출된다.
• 제라미안 좌표에서의 위어스트라스 곡선 페어링 계산 성능이 최적화된 공식을 통해 향상된다.
• 논문은 임베딩 차수 k = 6인 페어링 친화적 비틀린 에드워즈 곡선의 명시적 예를 제시하여 효율적인 페어링 기반 암호 시스템을 가능하게 한다.