[논문 리뷰] Faster Search of Clustered Marked States with Lackadaisical Quantum Walks

Amit Saha, Ritajit Majumdar외 3명|arXiv (Cornell University)|2021. 07. 05.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 44인용 수 14

한 줄 요약

이 논문은 $ \sqrt{N} \times \sqrt{N} $ 격자에서 모든 군집화된 마킹된 상태를 거의 1에 수렴하는 성공 확률로 찾는 데 성공하기 위해, 적절한 자기루프 가중치 범위 $ l = \frac{4}{N(k+1)} \pm \delta $를 제안한다. 여기서 $ \frac{4}{N(k+2)} \leq l \leq \frac{4}{Nk} $이다. 이 방법은 앰플리튜드 증폭 없이도 Grover의 코인과 이전의 lackadaisical 워크 접근법보다 더 빠른 검색 시간을 달성하며, 특히 $ k = n^2 $인 홀수 $ n $의 경우 뛰어난 성능을 보인다.

ABSTRACT

The nature of discrete-time quantum walk in the presence of multiple marked states has been studied by Nahimovs and Rivosh. They introduced an exceptional configuration of clustered marked states $i.e.,$ if the marked states are arranged in a $\sqrt{k} imes \sqrt{k}$ cluster within a $\sqrt{N} imes \sqrt{N}$ grid, where $k=n^{2}$ and $n$ an odd integer. They showed that finding a single marked state among the multiple ones using quantum walk with AKR (Ambainis, Kempe and Rivosh) coin requires $\Omega(\sqrt{N} - \sqrt{k})$ time. Furthermore, Nahimov and Rivosh also showed that the Grover's coin can find the same configuration of marked state both faster and with higher probability compared to that with the AKR coin. In this article, we show that using lackadaisical quantum walk, a variant of a three-state discrete-time quantum walk on a line, the success probability of finding all the clustered marked states of this exceptional configuration is nearly 1 with smaller run-time. We also show that the weights of the self-loop suggested for multiple marked states in the state-of-the-art works are not optimal for this exceptional configuration of clustered mark states. We propose a range of weights of the self-loop from which only one can give the desired result for this configuration.

연구 동기 및 목표

• 양자 워크를 이용해 2차원 격자에서 다수의 군집화된 마킹된 상태를 검색하는 문제에 도전하며, 기존 방법이 실패하거나 비효율적인 경우를 다루기 위해.
• 기존 lackadaisical 양자 워크 가중치(예: $ l = \frac{4(k - \sqrt{k})}{N} $, $ l = \frac{4k}{N} $)의 한계를 극복하여 군집화된 마킹된 상태의 예외적인 구성에서 실패하는 문제를 해결하기 위해.
• 최소한의 런타임으로 $ \sqrt{k} \times \sqrt{k} $ 군집 내 모든 마킹된 상태를 고정밀도로 탐지할 수 있는 특정 자기루프 가중치 범위를 규명하기 위해.
• 최적화된 워크 동역학을 통해 직접적으로 거의 1에 수렴하는 성공 확률을 달성함으로써 앰플리튜드 증폭이 필요 없도록 하기 위해.
• 모든 홀수 $ n $에 대해 적용 가능한 일반화된 최적의 가중치 영역을 설정하기 위해. 여기서 $ k = n^2 $이며, 예외적인 군집화된 구성에 대해 적용된다.

제안 방법

• 자기루프 상태를 포함한 다섯 차원의 코인 공간을 가진 $ \sqrt{N} \times \sqrt{N} $ 2차원 격자에서 lackadaisical 양자 워크를 사용하기 위해.
• 코인 연산자를 $ D = 2|s_D\rangle\langle s_D| - I_5 $로 정의하며, 여기서 $ |s_D\rangle = \frac{1}{\sqrt{4 + l}}( |\uparrow\rangle + |\downarrow\rangle + |\leftarrow\rangle + |\rightarrow\rangle + \sqrt{l}|.\rangle ) $이며, 가변적인 자기루프 가중치 $ l $를 포함한다.
• 마킹된 상태에서 분산 연산자를 $ -I $로 대체함으로써 펌터베이션을 적용하고, 마킹되지 않은 상태에서는 Grover 유사 코인을 사용한다.
• 다양한 격자 크기 $ N $과 군집 크기 $ k = n^2 $ (홀수 $ n $)에 대해 수치 시뮬레이션을 수행하여 성공 확률과 런타임을 평가하기 위해.
• 자기루프 가중치 $ l = \frac{4}{N(k+1)} \pm \delta $의 범위를 체계적으로 테스트하며, 여기서 $ \delta $는 $ \frac{4}{N(k+2)} \leq l \leq \frac{4}{Nk} $를 만족하도록 조정된다. 이는 각 구성에 대해 최적의 가중치를 식별하기 위함이다.
• 성공 확률과 런타임 측면에서 Grover의 코인과 이전의 lackadaisical 워크 가중치(예: $ \frac{4(k - \sqrt{k})}{N} $, $ \frac{4k}{N} $)와의 비교를 통해 우월성을 검증하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떤 자기루프 가중치 범위가 $ \sqrt{k} \times \sqrt{k} $ 군집 내 모든 마킹된 상태를 $ \sqrt{N} \times \sqrt{N} $ 격자에서 거의 1에 수렴하는 성공 확률로 찾을 수 있게 하는가?
• RQ2 제안된 가중치 범위를 가진 lackadaisical 양자 워크의 성능은 성공 확률과 런타임 측면에서 Grover의 코인과 이전의 lackadaisical 워크 가중치에 비해 어떻게 비교되는가?
• RQ3 제안된 가중치 범위는 군집화된 마킹된 상태를 검색할 때 앰플리튜드 증폭이 필요 없도록 할 수 있는가?
• RQ4 제안된 가중치 범위는 $ k = n^2 $인 다양한 군집 크기(특히 $ k > 9 $)에 대해 안정적이고 최적의 성능을 보이는가?
• RQ5 제안된 가중치 범위를 사용할 경우 다양한 격자 크기 $ N $에서 성공 확률은 거의 1에 수렴하고 런타임은 낮게 유지되는가?

주요 결과

• 자기루프 가중치를 $ l = \frac{4}{N(k+1)} \pm \delta $의 범위로 설정하며, 여기서 $ \frac{4}{N(k+2)} \leq l \leq \frac{4}{Nk} $이면, $ k = 9 $ 및 $ N = 10,000 $일 때 약 0.997의 성공 확률을 달성하며 런타임은 471단계 뿐이다.
• $ k = 9 $일 때, 제안된 방법은 471단계 내에 0.997134의 성공 확률을 달성하며, 이는 이전의 lackadaisical 워크 가중치 $ \frac{4k}{N} = 0.0036 $가 제공하는 0.011434의 성공 확률보다 뚜렷이 뛰어나다.
• 제안된 가중치 범위는 Grover의 코인 방법이 $ \sim\sqrt{\log N} $ 반복이 필요로 하는 것보다 적은 단계로 거의 1에 수렴하는 성공 확률(예: $ k = 9 $, $ N = 8100 $일 때 0.994785)을 달성한다.
• 기존의 lackadaisical 워크 가중치인 $ \frac{4(k - \sqrt{k})}{N} $ 및 $ \frac{4k}{N} $는 $ k > 9 $일 경우 어떤 마킹된 상태도 탐지하지 못하지만, 제안된 방법은 $ k = 25 $ 및 $ k = 49 $일 때도 높은 성공 확률을 유지한다.
• $ k = 25 $일 때, $ N = 2500 $에서 18,557단계 내에 0.991250의 성공 확률을 달성하며, $ k = 49 $일 때는 $ N = 400 $에서 234,022단계 내에 0.896939의 성공 확률을 달성하여 제안된 가중치 영역 내에서의 확장성을 입증한다.
• 수치 시뮬레이션은 각 구성에 대해 유일한 최적 가중치가 존재하며, 제안된 범위 내에서 유일한 최적 가중치가 유일하게 최적 성능을 내는 것으로 확인되었으며, 이는 유도된 간격의 정밀도를 검증한다.