[논문 리뷰] Faster Streaming algorithms for graph spanners

Surender Baswana|ArXiv.org|2006. 11. 06.

Complexity and Algorithms in Graphs참고 문헌 25인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 가중치 없는 그래프에서 (2k−1)-스패너를 계산하기 위한 단일 패ass 스트리밍 알고리즘을 제안하며, 총 처리 시간이 O(m)이고 최적의 크기-스패너 간격 균형을 확보한다. 또한 스트림 정렬 모델을 사용해 가중치 있는 그래프로 확장하여 O(log n) 메모리와 O(k) 패스를 사용한다. 주요 기여는 고정된 시간 내에 각 간선을 처리할 수 있는 근사 최적의 효율적인 스트리밍 알고리즘을 제공한다는 점이다.

ABSTRACT

Given an undirected graph $G=(V,E)$ on $n$ vertices, $m$ edges, and an integer $t\ge 1$, a subgraph $(V,E_S)$, $E_S\subseteq E$ is called a $t$-spanner if for any pair of vertices $u,v \in V$, the distance between them in the subgraph is at most $t$ times the actual distance. We present streaming algorithms for computing a $t$-spanner of essentially optimal size-stretch trade offs for any undirected graph. Our first algorithm is for the classical streaming model and works for unweighted graphs only. The algorithm performs a single pass on the stream of edges and requires $O(m)$ time to process the entire stream of edges. This drastically improves the previous best single pass streaming algorithm for computing a $t$-spanner which requires $θ(mn^{\frac{2}{t}})$ time to process the stream and computes spanner with size slightly larger than the optimal. Our second algorithm is for {\em StreamSort} model introduced by Aggarwal et al. [FOCS 2004], which is the streaming model augmented with a sorting primitive. The {\em StreamSort} model has been shown to be a more powerful and still very realistic model than the streaming model for massive data sets applications. Our algorithm, which works of weighted graphs as well, performs $O(t)$ passes using $O(\log n)$ bits of working memory only. Our both the algorithms require elementary data structures.

연구 동기 및 목표

• 가중치 없는 그래프에 대해 (2k−1)-스패너를 근사 최적의 크기-스패너 간격 균형을 유지하면서 단일 패스 스트리밍 알고리즘으로 계산하는 것.
• 더 강력한 스트리밍 모델인 스트림 정렬 모델에서 알고리즘을 확장하여 가중치 있는 그래프를 처리하는 것.
• 스패너 크기의 근사 최적성과 유지하면서 패스 수, 작업 메모리, 간선당 처리 시간을 최소화하는 것.
• 고전적 스트리밍 모델에서 간선당 상당한 평균 처리 시간을 확보하는 것.
• 기대 스패너 크기 O(kn^{1+1/k})와 추측된 최적 경계 Ω(n^{1+1/k}) 사이의 격차를 해결하는 것.

제안 방법

• 정점들을 클러스터로 묶는 기반 기반 접근 방식을 사용하며, 간선은 클러스터 중심에 가까운 정도에 따라 처리된다.
• 각 반복에서 정점은 확률 n^{-1/k}로 샘플링되며, 샘플링된 클러스터에 속한 정점과 연결된 간선은 스패너에 포함될 대상으로 고려된다.
• 각 정점에 대해, 가장 가까운 샘플링된 클러스터까지의 거리보다 작은 무게를 가진 클러스터로의 가장 가벼운 간선만 스패너 간선으로 표시된다.
• 비스듬한 간선을 걸러내기 위해 스트림 패assing을 사용하고, 양방향 간선을 효율적으로 삭제하기 위해 정렬 패assing을 통해 그룹화한다.
• 스트림 정렬 모델에서는 여러 번의 패assing을 사용한다: 정점 기준으로 간선을 그룹화하기 위한 정렬 패assing, 그 다음에 클러스터 중심을 할당하고 간선 메타데이터를 업데이트하기 위한 스트림 패assing.
• 각 간선에 대해 lcenter와 rcenter를 유지하여 클러스터 소속을 추적하고, 패assing 간 일관된 경로 근사가 유지되도록 한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 가중치 없는 그래프에서 간선 스트림을 단일 패스로 처리할 때 총 처리 시간이 O(m)이 되는 (2k−1)-스패너를 계산할 수 있는가?
• RQ2 스트리밍 알고리즘을 메모리와 패스 복잡도를 낮춘 상태로 가중치 있는 그래프로 확장할 수 있는가?
• RQ3 스트림 정렬 모델에서 (2k−1)-스패너를 계산하기 위해 O(log n) 작업 메모리와 O(k) 패스를 달성할 수 있는가?
• RQ4 스트리밍 모델에서 스패너 크기와 알고리즘 효율성 간의 상호 관계는 어떠한가?
• RQ5 스패너 크기 O(kn^{1+1/k})에서 승수 요소 k를 스트리밍 알고리즘에서 제거할 수 있는가?

주요 결과

• 제안된 가중치 없는 그래프에 대한 단일 패스 스트리밍 알고리즘은 총 시간 O(m)에 수행되어 간선당 상당한 평균 처리 시간을 확보한다.
• 알고리즘은 기대 크기가 O(kn^{1+1/k})인 (2k−1)-스패너를 계산하며, 최적의 크기-스패너 간격 균형을 확보한다.
• 스트림 정렬 모델에서 알고리즘은 O(k) 패스와 O(log n) 작업 메모리를 사용하여 가중치 있는 그래프의 (2k−1)-스패너를 계산한다.
• 스패너의 기대 크기는 O(min(m, kn^{1+1/k}))이며, 상수 요소 k 이내에서 추측된 하한선과 일치한다.
• 알고리즘이 클러스터링에 대한 귀납적 추론을 통해 정확성을 유지하며, 삭제된 간선은 항상 스패너 내에서 (2k−1)개 이하의 간선 경로를 가진다.
• 모든 효율성 지표에서 근사 최적성을 달성한다: 패스 수, 메모리, 처리 시간, 스패너 크기.