[논문 리뷰] Fatou and brother Riesz theorems in the infinite-dimensional polydisc

Alexandru Aleman, Jan‐Fredrik Olsen외 1명|arXiv (Cornell University)|2015. 12. 04.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 12인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 무한차원 다각형에서 하르디 공간에 대한 피타우와 형제 리에즈 정리의 무한차원 해석을 수립하며, 비음수 및 음수 다중지수에 지지된 푸리에 스펙트럼을 가진 함수에 대해 반경 방향 경계 극한이 존재함을 증명한다. 형제 리에즈 정리에 대한 새로운 증명을 제공하고 루딘의 H¹ 함수의 모듈러스 결과를 일반화하며, 스펙트럼 제약 조건이 없이 점별 반경 극한이 실패할 수 있음을 보여주는 반례를 구성한다.

ABSTRACT

We study the boundary behavior of functions in the Hardy spaces on the infinite dimensional polydisk. These spaces are intimately related to the Hardy spaces of Dirichlet series. We exhibit several Fatou and Marcinkiewicz-Zygmund type theorems for radial convergence. As a consequence one obtains easy new proofs of the brothers F. and M. Riesz theorems in infinite dimension. Finally, we provide counterexamples showing that the pointwise Fatou theorem is not true in infinite dimensions without restrictions to the mode of radial convergence even for bounded analytic functions.

연구 동기 및 목표

• 고전적 피타우 및 마르친키에비치-지그문트 정리를 무한차원 다각형 설정으로 확장하는 것.
• 반경 수렴 결과를 사용하여 무한차원 형제 리에즈 정리(F. 및 M. 리에즈)에 대한 새로운이고 단순화된 증명을 제공하는 것.
• H¹ 함수가 다른 H¹ 함수의 모듈러스와 거의 everywhere에서 일치한다는 루딘의 결과를 ℔ℓ로 일반화하는 것.
• 무한차원에서 점별 반경 경계 극한의 실패를 조사하고 반례를 구성하는 것.
• 유한차원 정규성의 부재에도 불구하고 반경 경계 행동이 여전히 유효한 조건을 규명하는 것.

제안 방법

• r ↗ 1 인 수열 (r^n e^{i\theta_n})을 따라 반경 방향으로 접근함으로써 H^p(℔ℓ) 함수의 경계 행동을 분석하며, ℚℓ_0^\f \cup (-\u211aℓ_0^\f) 에 지지된 푸리에 스펙트럼을 가진 함수에 집중한다.
• 약한-* 수렴과 각각의 토러스 인자 ℔ 에서의 포아송 및 켤레 포아송 커널에 대한 최대 함수 추정을 적용하며, Mu_n \geq C \min(1, \delta_n |t|^{-1}) 을 사용하여 급수의 발산을 도출한다.
• 헤르글로츠 표현과 \ell^2 기반 추정을 활용하여 c_0 \cap \bbD^\f 에서 f 의 균일 유계성과 영이 아님을 보이며, 다각형 내 해석성을 확보한다.
• u_n 과 \tilde{u}_n 의 독립성과 균일 유계성, [7, Lemma 3.14] 를 활용하여 a.e. 에서 \sum Mu_n 과 \sum |\tilde{u}_n| 의 a.e. 발산을 유도하고, 이는 발산하는 반경 경로를 암시한다.
• 특정 인덱스 블록에 따라 의존하는 변형된 반지름 r_{n,k} 를 사용하여, H^\infty(\bbT^\f) 에 속하는 유계 해석 함수 f 를 구성한다. 이 경우 특정 반경 접근 방식에 대해 반경 극한이 거의 어디서나 실패한다.
• 힐베르트의 추론을 적용하여 f 가 c_0 \cap \bbD^\f 에서 유계 점 평가를 가지며, 다각형 내에서 잘 정의되고 영이 아님을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 정리 1에서의 스펙트럼 제약 조건(푸리에 지지가 \bbN^\f_0 \cup (-\bbN^\f_0) 에 있음)을 제거할 수 있는가?
• RQ2 모노톤 반지름 r_{n,k} \geq r_{n+1,k} 인 경우에도 반경 수렴이 실패하는 유계 해석 함수 f 가 ℔^\f 에 존재하는가?
• RQ3 점별 독립적인 반경 접근 방식에서는 반경 수렴 실패가 피할 수 없는가?
• RQ4 H^p(\bbT^\f) 함수에 대해 비접선 경계 극한의 행동은 어떠한가?
• RQ5 형제 리에즈 정리(경계 값이 거의 어디서나 0이면 f \equiv 0)가 성립하는 특정 반경 접근 방식은 무엇인가?

주요 결과

• 정리 1은 푸리에 스펙트럼이 \bbN^\f_0 \cup (-\bbN^\f_0) 에 지지된 f \in H^p(\bbT^\f) 에 대해 반경 경계 극한이 존재함을 보이며, 고전적 피타우 유형 결과를 무한차원으로 확장한다.
• 보조정리 1 및 보조정리 2 는 반경 수렴 기법을 사용하여 무한차원 형제 리에즈 정리(F. 및 M. 리에즈)에 대한 새로운이고 단순화된 증명을 제공한다.
• 보조정리 3 은 f \in H^1(\bbT^\f) 를 그 m-번째 부분곱의 균일 L^1-유계성으로 특징지어, 적분 가능성에 대한 새로운 기준을 제공한다.
• 정리 2 는 마르친키에비치-지그문트 정리를 무한차원으로 일반화하며, 이러한 푸리에 지지를 가진 특이 측도가 거의 어디서나 반경 극한을 갖지 않음을 보여준다.
• 정리 4 는 특정 반경 접근 방식 하에서 거의 어디서나 반경 극한이 실패하는 유계 해석 함수 f \in H^\infty(\bbT^\f) 를 구성한다. 이는 스펙트럼 제약 조건의 필요성을 보여준다.
• 반례는 \sum Mu_n = \infty a.e. 인 발산 급수에 기반하며, \delta_n \sim 1/(n+2)\log(n+2) 를 통해 구성되며, 이는 \arg f 에서 무한한 반경 성장으로 이어진다.