[논문 리뷰] Fatou-Bieberbach Domains

Erlend Fornæss Wold|ArXiv.org|2004. 10. 07.

Rings, Modules, and Algebras인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 $\mathbb{C}^k$ 내에서 매우 비자명한 기하학적 및 역학적 성질을 지닌 Fatou-Bieberbach 도메인을 구성한다: 유한하지 않은 수의 서로소인 이러한 도메인의 존재를 증명하며, 그들의 합집합은 $\mathbb{C}^k$ 내에서 밀도를 가진다. 또한 합집합 외부의 모든 점은 각 도메인의 경계점임을 보여준다. 추가로, 모든 Runge Fatou-Bieberbach 도메인은 $\mathbb{C}^k$의 자동형사슬의 수렴 영역으로서 나타나며, $\mathbb{C}^k$와 동형인 Runge 도메인의 증가합집합은 스스로 $\mathbb{C}^k$와 동형임을 보인다. 이러한 결과들은 부분다양체 및 아핀 부분공간과의 교차에 관한 오랫동안 미해결이었던 질문들을 해결한다.

ABSTRACT

We show that for any $m\in\NN\cup\{\infty\}$ there exist $m$ disjoint FB domains whose union is dense in $\CC^k$. In fact we show that any point not in the union is a boundary point for all the domains. We construct FB domains that contains arbitrary countable collections of subvarieties of $\CC^k$, and we construct FB domains that intersect elements of countable collections of affine subspaces of $\CC^k$ in connected proper subsets. Moreover, we show that any Runge FB domain is the attracting basin for a sequence of automorphisms of $\CC^k$, although not necessarily if you only allow iteration of one automorphism. We also show that an increasing sequence of Runge $\CC^k$'s is a $\CC^k$.

연구 동기 및 목표

• 다양한 서로소인 Fatou-Bieberbach 도메인의 존재를 밝혀내는 것: 이 도메인들의 합집합이 $\\mathbb{C}^k$ 내에서 밀도를 가짐.
• 이러한 합집합 외부의 모든 점이 각 도메인의 경계점임을 보여주는 것. 이는 Rosay와 Rudin의 질문에 대답한다.
• 임의의 가산 수의 부분다양체 또는 가산 수의 아핀 부분공간과 교차하는 연결된 진부분집합을 포함하는 Fatou-Bieberbach 도메인을 구성하는 것.
• Runge Fatou-Bieberbach 도메인의 역학적 특성화를 명확히 하는 것: 자동형사슬의 수렴 영역임을 보여주는 것.
• 증가하는 $\mathbb{C}^k$와 동형인 Runge 도메인의 합집합이 스스로 $\mathbb{C}^k$와 동형임을 증명하는 것.

제안 방법

• Theorem 9.1을 [10]에서 일반화하여, 도함수 노름을 통제하는 자동형사슬을 통해 Fatou-Bieberbach 도메인을 구성한다.
• Andersen, Lempert, Forstneric, Rosay의 근사 정리들을 활용하여 $\mathbb{C}^k$의 위상수학적 사상들을 자동형사로 근사한다.
• 다항식 볼록성 기법을 적용하여 도메인과 그 여집합의 행동을 통제한다.
• 고정점으로 수렴하도록 하는 자동형사 $F_j$의 재귀적 구성 방법을 사용하며, $F(j) = F_j \circ \cdots \circ F_1$의 복합이 수렴함을 보장한다. 이는 $\mathbb{C}^k$ 위로의 위상수학적 사상으로 수렴함을 보장한다.
• 컴act 집합에서의 균일 수렴을 이용하여 극한 사상이 수렴 영역에서 $\mathbb{C}^k$로의 위상수학적 사상임을 보장한다. 이는 도함수의 이阶항에 대한 유계성을 활용한다.
• 증가하는 도메인 $\Omega_j$ 위에서 정의된 위상수학적 사상 $\varphi_j$를 구성하며, 이들은 컴팩트 집합에서 균일 수렴하여 전역적 위상수학적 사상 $\Phi: \Omega \to \mathbb{C}^k$로 수렴한다. 이는 복소해석학의 근사 및 수렴 정리를 활용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 무한히 많은 서로소인 $\mathbb{C}^k$ 내의 Fatou-Bieberbach 도메인이 존재할 수 있는가? 이 도메인들의 합집합은 밀도를 가질 수 있는가?
• RQ2 이러한 합집합 외부의 모든 점이 동시에 모든 도메인의 경계점일 수 있는가?
• RQ3 가산 수의 아핀 부분공간과의 교차가 연결된 진부분집합이 되는 Fatou-Bieberbach 도메인이 존재할 수 있는가?
• RQ4 임의의 가산 수의 닫힌 부분다양체의 합집합을 포함하는 Fatou-Bieberbach 도메인이 존재할 수 있는가? 심지어 그 합집합이 $\mathbb{C}^k$ 내에서 밀도를 가질지라도.
• RQ5 모든 Runge Fatou-Bieberbach 도메인이 단일 자동형사가 아닌 자동형사의 수열의 수렴 영역으로 나타나는가?

주요 결과

• 모든 $m \in \mathbb{N} \cup \{\infty\}$에 대해, $\mathbb{C}^k$ 내에 $m$개의 서로소인 Fatou-Bieberbach 도메인이 존재하며, 이들의 합집합은 밀도를 가지며, 합집합 외부의 모든 점은 각 도메인의 경계점이다.
• 모든 Runge Fatou-Bieberbach 도메인은 $\mathbb{C}^k$의 자동형사 수열의 수렴 영역으로 나타나며, 단일 자동형사의 수렴 영역일 필요는 없다.
• 가산 수의 아핀 부분공간 각각과의 교차가 연결된 진부분집합이 되며, 각 부분공간의 여집합을 피하는 Fatou-Bieberbach 도메인이 존재한다.
• 임의의 주어진 $\mathbb{C}^k$의 닫힌 부분다양체의 가산 합집합을 포함하는 Fatou-Bieberbach 도메인이 존재한다. 심지어 그 합집합이 밀도를 가질지라도.
• 증가하는 $\mathbb{C}^k$와 동형인 Runge 도메인의 합집합은 스스로 $\mathbb{C}^k$와 동형이다. 이는 [7, p.4]에서 제기된 질문에 대한 부분적인 답을 제공한다.