[논문 리뷰] Fatou directions along the Julia set for endomorphisms of CP^k

Romain Dujardin|arXiv (Cornell University)|2010. 06. 04.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 16인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 복소수 프로젝티브 공간 ℂℙ^k의 정칙 엔도모르피즘에 대해, 집합 $J_q \setminus J_{q+1}$ (여기서 $J_q = \mathrm{Supp}(T^q)$)의 일반적인 점이 그 접공간에서 최소 $(k-q)$개의 패투 방향을 갖는다고 규명한다. 이 방향들은 미분의 노름이 초지수적으로 증가하지 않는 방향들이다. 또한 횡방향에서는 최소 $\frac{1}{2}\log d$ 의 속도로 지수적 확장이 일어남을 증명하여, 조각난 역학적 구조가 줄무늬진 줄무늬 구조를 따르는 강력한 증거나를 제공한다.

ABSTRACT

Not much is known about the dynamics outside the support of the maximal entropy measure $μ$ for holomorphic endomorphisms of $\mathbb{CP}^k$. In this article we study the structure of the dynamics on the Julia set, which is typically larger than $Supp(μ)$. The Julia set is the support of the so-called Green current $T$, so it admits a natural filtration by the supports of the exterior powers of $T$. For $1\leq q \leq k$, let $J_q= Supp(T^q)$. We show that for a generic point of $J_q\setminus J_{q+1}$ there are at least $(k-q)$ "Fatou directions" in the tangent space. We also give estimates for the rate of expansion in directions transverse to the Fatou directions.

연구 동기 및 목표

• 복소수 프로젝티브 공간 $\mathbb{CP}^k$의 정칙 엔도모르피즘에 대해, $J = J_1 \supset J_2 \supset \cdots \supset J_k = \mathrm{Supp}(\mu)$인 줄무늬 구조를 가진 줄무늬 집합의 역학적 구조를 이해하는 것.
• 줄무늬 집합의 분할에 따라 다양한 접공간 방향에서 패투형과 줄무늬형 역학의 차이를 명확히 하는 것.
• 일반적인 점 $J_q \setminus J_{q+1}$에서 패투 방향의 수와 성격을 정량적으로 기술하여, 일차원 직관을 고차원으로 일반화하는 것.
• 역학적 구조가 $J_q \setminus J_{q+1}$에서 여피-형태의 안정성(패투)이 고차원 $q$-차원 방향에서, 횡방향에서는 확장(줄무늬)이 일어나는 것으로 추측되는 바를 뒷받침하는 것.

제안 방법

• 녹색 코어 $T$와 그 거듭제곱 $T^q$를 사용하여, $J_q = \mathrm{Supp}(T^q)$로 정의되는 줄무늬 구조를 구성함으로써 줄무늬 집합을 분할한다.
• 일반적인 점 $x \in J_q \setminus J_{q+1}$에서 접벡터 $v$를 따라 미분 $df^n_x(v)$ 의 성장률을 분석하며, $\frac{1}{n}\log\|df^n_x(v)\|$ 의 $\limsup$ 추정을 통해 패투형과 줄무늬형 방향을 구분한다.
• 체른-레빈-니레버그 부등식과 당위론적 도구(예: 데자이의 정리)를 적용하여 반복에 의한 전이상의 질량과 직경 추정을 제어한다.
• 국소 좌표에서의 레이어링된 코어와 그래프 위의 통합 코어 개념을 활용하여 전이상의 크기와 미분의 노름을 추정한다.
• 그라스만다인 $G(q,k)$에서의 확률론적 추론을 통해, $m$-거의 모든 $q$차원 부분공간 $L \subset T_x\mathbb{P}^k$에 대해 $f^n$에 의한 $[L]$의 전이상이 특정 다양체 $V$ 위에 지지되는 코어로 수렴함을 보여, 필요한 점근적 행동을 유도한다.
• 녹색 코어 $T$의 연속성과 $T^q$의 잘 정의됨을 바탕으로, 추적 측도 $\sigma_{T^q}$가 잘 정의되어 일반적인 점 분석이 가능함을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 복소수 프로젝티브 공간 $\mathbb{CP}^k$의 정칙 엔도모르피즘에 대해, $J_q \setminus J_{q+1}$의 일반적인 점에서 패투 방향은 몇 개인가?
• RQ2 이러한 일반적인 점에서 패투 부분공간에 수직인 방향에서의 확장 속도를 정량적으로 기술할 수 있는가?
• RQ3 역학적 구조가 $J_q \setminus J_{q+1}$에서 일부 방향에서는 안정적(패투)이고 다른 일부에서는 확장(줄무늬)인 혼합된 형태를 띄는가? 이는 $T^{q}$의 추측된 레이어링된 구조와 일치하는가?
• RQ4 패투 방향이 $k-q$개 존재한다는 것은 줄무늬 집합 분할의 일반적인 특성인가? 이는 Axiom A나 기타 강력한 가정 없이 증명될 수 있는가?
• RQ5 추적 측도 $\sigma_{T^q}$는 패투 디스크나 레이어링된 코어의 존재 측면에서 $J_q \setminus J_{q+1}$의 역학적 구조를 어느 정도 반영하는가?

주요 결과

• 모든 $\sigma_{T^q}$-거의 모든 $x \in J_q \setminus J_{q+1}$에 대해, $T_x\mathbb{P}^k$ 내에 고차원 $k-q$의 복소수 부분공간 $\mathcal{F}_x$ 가 존재하여, 모든 $v \in \mathcal{F}_x$ 에 대해 $\limsup_{n\to\infty} \frac{1}{n}\log\|df^n_x(v)\| \leq 0$ 이 성립함을 보여, 이는 패투 방향을 정의한다.
• 모든 $v \notin \mathcal{F}_x$ 에 대해 $\limsup_{n\to\infty} \frac{1}{n}\log\|df^n_x(v)\| \geq \frac{1}{2}\log d$ 이 성립함을 보여, 횡방향에서 지수적 확장이 일어남을 나타낸다.
• 큐브 $Q$ 위에 정의된 그래프 $\Gamma$ 의 전이상 $f^{-n}(\Gamma)$ 의 직경은 $C(\varepsilon) d^{-n/2}$ 이하로 유계임을 보여, 반복에 따른 왜곡이 제어됨을 의미한다.
• $\|df_{-n}|_{\Gamma \cap \lambda C}\| \leq C(\varepsilon) d^{-n/2}$ 이 성립함을 보여, 패투 방향에서의 초지수적 성장이 확인된다.
• 일반적인 $q$-평면이 $f^n$에 의해 전이될 때, 약한 수렴에 의해 특정 다양체 $V$ 위에 지지되는 코어로 수렴함을 보여, 점근적 역학이 $V$ 에 집중되어 있음을 시사하며, 추측된 레이어링된 구조를 뒷받침한다.
• $\sigma_{T^q}$ 는 패투 부분공간의 여피-형태가 고차원 $k-q$를 이루는 점들의 집합에 대해 전측도를 부여함을 보여, 줄무늬 집합 전반에 걸친 역학적 행동의 기대되는 분할이 확인된다.