[논문 리뷰] Feasibility Tests for Recurrent Real-Time Tasks in the Sporadic DAG Model

Vincenzo Bonifaci, Alberto Marchetti-Spaccamela외 2명|arXiv (Cornell University)|2012. 12. 12.

Real-Time Systems Scheduling참고 문헌 8인용 수 58

한 줄 요약

이 논문은 다중 프로세서 환경에서 다수의 반복적인 실시간 작업에 대해 흩어진 DAG 모델을 확장하며, EDF 스케줄링을 위한 다항식 및 진위 다항식 복잡도의 타당성 테스트를 제안한다. EDF의 속도 향상 한계를 $2 - 1/m + \epsilon$로 설정하고, 작업 볼륨, 주기 및 마감 시간 제약 조건에 기반한 EDF-타당성 조건을 제공한다.

ABSTRACT

A model has been proposed in [Baruah et al., in Proceedings of the IEEE Real-Time Systems Symposium 2012] for representing recurrent precedence-constrained tasks to be executed on multiprocessor platforms, where each recurrent task is modeled by a directed acyclic graph (DAG), a period, and a relative deadline. Each vertex of the DAG represents a sequential job, while the edges of the DAG represent precedence constraints between these jobs. All the jobs of the DAG are released simultaneously and have to be completed within some specified relative deadline. The task may release jobs in this manner an unbounded number of times, with successive releases occurring at least the specified period apart. The feasibility problem is to determine whether such a recurrent task can be scheduled to always meet all deadlines on a specified number of dedicated processors. The case of a single task has been considered in [Baruah et al., 2012]. The main contribution of this paper is to consider the case of multiple tasks. We show that EDF has a speedup bound of 2-1/m, where m is the number of processors. Moreover, we present polynomial and pseudopolynomial schedulability tests, of differing effectiveness, for determining whether a set of sporadic DAG tasks can be scheduled by EDF to meet all deadlines on a specified number of processors.

연구 동기 및 목표

• 동일한 다중 프로세서에서 방향성 비순환 그래프(DAG)로 모델링된 다수의 반복적 선행 제약 작업의 스케줄링 타당성 문제를 다루는 것.
• 단일 작업에 대한 이전의 흩어진 DAG 스케줄링 연구를 다중 작업 환경으로 확장하여 복잡한 간섭과 자원 경쟁을 도입하는 것.
• EDF 스케줄링을 위한 효율적인 타당성 테스트—다항식 및 진위 다항식 복잡도—를 개발하는 것.
• 특히 EDF의 속도 향상 한계와 같은 이론적 성능 한계를 다중 작업 흩어진 DAG 환경에서 설정하는 것.

제안 방법

• 각 DAG 작업 $G_i$의 총 작업량을 시간 $t$까지로 제한하기 위해 누적 작업량에 대한 조각별 선형 근사 $\hat{w}_i(t)$를 제안한다.
• 작은 오차 $\epsilon$를 고려한 근사 기법을 사용하여 작업 함수의 조각 수를 $O(\frac{1}{\epsilon} \sum_i |V_i| \cdot (1 + \frac{D_i}{T_i}))$로 줄여 효율적인 계산을 가능하게 한다.
• 조각별 선형성의 특성을 활용하여 시간에 따른 작업 대비 비율의 Supremum를 계산하기 위해 $\lim_{t\to\infty} f(t)/t$를 적용한다.
• 작업 볼륨, 주기 및 마감 시간에 기반한 EDF-타당성의 충분 조건을 유도한다: $\sum_{T_i \leq D_k} \frac{\mathrm{vol}(G_i)}{T_i} + \sum_{T_i > D_k} \frac{\mathrm{vol}(G_i)}{D_k} \leq \frac{m+1/2}{3}$.
• 작업 함수의 상한과 프로세서 활용도 및 유휴 시간 분석을 조합하여, EDF가 마감 시간을 지키지 못할 경우 모순을 이끌어내는 방법을 적용한다.
• 비어 있는 시간 $Y$와 바쁜 시간 $X$를 구분하는 최악의 경우 간격 분석을 $[r_j, d_j)$에 적용하며, $Y \leq \mathrm{len}(G_k) \leq D_k/3$를 만족한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 다중 흩어진 DAG 작업에 대해 $m$개의 동일한 프로세서에서 EDF 스케줄링의 속도 향상 한계는 무엇인가?
• RQ2 다항식 또는 진위 다항식 복잡도를 가진 다중 작업 흩어진 DAG 모델에서 EDF에 대한 효율적인 타당성 테스트를 설계할 수 있는가?
• RQ3 어떤 조건에서 흩어진 DAG 작업 집합이 주어진 수의 프로세서에서 EDF로 타당하게 스케줄링될 수 있는가?
• RQ4 선행 제약 조건과 부분적 병렬성의 존재가 다중 작업 환경에서 최악의 워크로드와 스케줄링 타당성에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 시간에 따른 흩어진 DAG 작업의 누적 작업량을 효과적으로 근사하여 확장 가능한 타당성 분석을 가능하게 할 수 있는가?

주요 결과

• EDF 스케줄링 알고리즘은 다수의 흩어진 DAG 작업에 대해 $2 - 1/m + \epsilon$의 속도 향상 한계를 가지며, 단일 작업의 경우보다 향상된 성능를 보인다.
• EDF에 대한 진위 다항식 시간 복잡도의 타당성 테스트를 제안하며, 속도 향상 한계는 $2 - 1/m + \epsilon$로 설정되어 정밀한 타당성 검사를 가능하게 한다.
• EDF-타당성의 다항식 시간 충분 조건을 도출하였다: $\sum_{T_i \leq D_k} \frac{\mathrm{vol}(G_i)}{T_i} + \sum_{T_i > D_k} \frac{\mathrm{vol}(G_i)}{D_k} \leq \frac{m+1/2}{3}$ 이면 시스템은 타당하게 스케줄링 가능하다.
• 최장 체인 길이 $\mathrm{len}(G_k) \leq D_k/3$일 경우, 임의의 간격 $[r_j, d_j)$에서 유휴 시간 $Y$는 $D_k/3$ 이하로 제한되며, 이는 충분 조건 증명에 핵심적인 역할을 한다.
• 작업 함수 근사 $\hat{w}_i(t)$는 $\frac{1}{1+\epsilon} \mathrm{work}_i(t) \leq \hat{w}_i(t) \leq \mathrm{work}_i(t)$를 만족하여 작업량 추정의 오차가 유한하게 제한됨을 보장한다.
• 비판적 간격 $[r_j, d_j)$ 동안 EDF가 수행하는 총 작업량은 최소 $\frac{2m+1}{3} D_k$ 이상이며, 이는 충분 조건이 성립할 경우 요구 작업량의 상한을 초과한다. 따라서 EDF가 실패할 경우 이는 모순을 유도한다.