[논문 리뷰] Feedback Regularization and Geometric PID Control for Trajectory Tracking of Coupled Mechanical Systems: Hoop Robots on an Inclined Plane

T. W. U. Madhushani, D. H. S. Maithripala외 1명|arXiv (Cornell University)|2016. 09. 30.

Control and Dynamics of Mobile Robots참고 문헌 13인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 기하학적 PID 제어 프레임워크를 제안하여, 기울은 평면 위를 주행하는 히프 로봇과 같은 부족운동계 기계계에서 궤적 추적을 수행한다. 피드백 정규화를 도입하여 시스템을 기계적 구조로 변환하고, 이를 기하학적 PID 제어와 융합함으로써, 일정한 외란과 매개변수 불확실성(예: 알 수 없는 경사면 기울기 포함)에 대해 거의 전역적이고 국소적으로 지수 수렴하는 제어 성능을 달성한다. 이는 좌표에 독립적인 접근법을 통해 시스템의 기하학적 구조를 유지하고 좌표 조각의 특이성을 피한다.

ABSTRACT

This paper applies geometric PID control for asymptotic tracking of a desired trajectory by a hoop robot in the presence of disturbances and uncertainties. The hoop robot, consisting of a circular body rolling without slip along a one-dimensional surface, is a planar analog of a spherical robot. A variety of coupled mechanical system may be used to actuate the hoop robot. This paper specifically considers two different actuators, one a simple pendulum and the other an internal cart. The geometric PID controller requires the plant to be a mechanical system, and the hoop robot does not satisfy this condition. Therefore a geometric inner loop is presented that gives the hoop robot the required structure. This procedure is here referred to as feedback regularization. Feedback regularization--in contrast to feedback linearization--is coordinate independent, and hence reflects the fundamental system structure. Note also that the resulting mechanical system is nonlinear and underactuated. Subsequently, the geometric PID outer loop guarantees almost-semiglobal tracking with locally exponential convergence, and the integral action of the PID guarantees robustness to constant disturbances and parameter uncertainties, including constant inclination of the rolling surface. The complete tracking controller is the composition of the two coordinate-independent loops, and therefore is also coordinate independent.

연구 동기 및 목표

• 부족운동계 기계계(예: 히프 로봇)에서 궤적 추적 문제를 해결하기 위해, 비선형적이며 완전한 구동이 없는 특성을 지닌 시스템에 대한 도전 과제를 다루는 것.
• 기하학적 PID 제어가 일반적으로 기계적 시스템의 구조를 필요로 하는 데 반해, 히프 로봇는 자연스럽게 이러한 조건을 만족하지 못하므로, 이 제한을 극복하는 것.
• 제어 설계에 적분 작용을 통합하여, 일정한 외란과 매개변수 불확실성(예: 알 수 없는 경사면 기울기 포함)에 대해 강건성을 확보하는 것.
• 좌표에 독립적인 제어 프레임워크를 개발하여 시스템의 기하학적 구조를 유지하고 좌표 조각의 특이성을 피하는 것.
• 단순 펜듈럼과 내부 카트라는 두 가지 특정 구동 메커니즘에 대해 제안된 방법의 효과성을 입증하는 것.

제안 방법

• 피드백 정규화를 적용하여 제어 입력을 재정의함으로써 히프 로봇를 기계적 시스템으로 변환하고, 기하학적 제어에 적합한 구조적 조건을 확보한다.
• 기하학적 PID 제어기를 설계하기 위해 리만 다양체에서의 속도 미분을 위해 리만 연결(Levi-Civita connection)을 사용하여, 적분 작용을 리만 다양체 위에서 적절히 수식화한다.
• 제어기를 두 개의 좌표에 독립적인 루프로 분해한다: 기하학적 내부 루프(피드백 정규화)와 궤적 추적을 위한 외부 루프(기하학적 PID)이다.
• 리아푸노프 기반 안정성 분석을 사용하며, 추적 오차의 국소적 지수 수렴을 증명하기 위해 복합 에너지 유사 함수 $ W_s $ 를 도입한다.
• 결합성과 리만 기하학적 구조에서 기인하는 삼차 및 이차 속도 항의 영향을 이득 선택을 통해 경계한다.
• 충분히 큰 PID 이득을 선택하여 $ \rho_{\text{min}}(Q_s) $ 가 임의로 크게 만들 수 있도록 하여, 지수 수렴과 액추에이터 속도의 유계성을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 기하학적 PID 제어는 완전히 구동되지 않는 기계계에서 출력 추적으로 확장될 수 있는가?
• RQ2 기계적 시스템으로서의 기하학적 제어에 적합한 조건을 만족하지 못하는 히프 로봇 같은 비기계적 시스템은 어떻게 기계적 시스템으로 변환할 수 있는가?
• RQ3 피드백 정규화는 제어 설계에서 피드백 선형화의 좌표에 독립적인 대안을 제공할 수 있는가?
• RQ4 일정한 외란과 매개변수 불확실성이 존재할 때, 거의 전역적이고 국소적으로 지수 수렴을 보장하기 위한 조건는 무엇인가?
• RQ5 비선형 결합성과 부족운동성에도 불구하고, 제어기는 어떻게 액추에이터 속도를 유계로 유지하면서 수렴성을 확보할 수 있는가?

주요 결과

• 제안된 피드백 정규화는 히프 로봇를 기계적 시스템으로 성공적으로 변환하여 기하학적 제어 기법의 적용을 가능하게 하였다.
• 기하학적 PID 제어기는 유계 매개변수 불확실성과 일정한 외란이 존재하더라도 추적 오차의 거의 전역적이고 국소적으로 지수 수렴을 보장한다.
• PID 제어기의 적분 작용은 알려지지 않은 경사면 기울기 포함 일정한 외란에 대해 강건성을 제공하며, 기울기 각도에 대한 사전 지식이 필요로 하지 않는다.
• 충분히 큰 PID 이득을 선택함으로써 $ \rho_{\text{min}}(Q_s) $ 를 임의로 크게 만들 수 있으며, 이는 지수 수렴을 보장하고 액추에이터 속도의 유계성을 가능하게 한다.
• 적절한 초기 조건과 이득 선택 조건 하에서 모든 $ t > 0 $ 에 대해 $ ||v_a(t)|| < k_a $ 를 유지함으로써 안정성과 수렴성을 확보한다.
• 폐쇄 루프 시스템은 $ \dot{W}_s \equiv 0 $ 인 가장 큰 불변 집합으로 수렴하며, 이는 목표 균형점 $ (\bar{y}_0, 0) $ 와 대응하여 점차적 추적을 확인한다.