[논문 리뷰] Feedback stabilization of a 1D linear reaction-diffusion equation with delay boundary control

Christophe Prieur, Emmanuel Trélat|arXiv (Cornell University)|2017. 09. 07.

Stability and Controllability of Differential Equations참고 문헌 22인용 수 114

한 줄 요약

본 논문은 지연 Dirichlet 경계 제어를 가진 1D 반응-확산 편미분방정식의 불안정한 부분에 대한 유한 차원 지연 제어기를 설계하고 전체 PDE의 지수적 안정화를 증명한다. 구성적 Artstein 기반 접근법과 Lyapunov 분석을 사용한다.

ABSTRACT

The goal of this work is to compute a boundary control of reaction-diffusion partial differential equation. The boundary control is subject to a constant delay, whereas the equation may be unstable without any control. For this system equivalent to a parabolic equation coupled with a transport equation, a prediction-based control is explicitly computed. To do that we decompose the infinite-dimensional system into two parts: one finite-dimensional unstable part, and one stable infinite-dimensional part. An finite-dimensional delay controller is computed for the unstable part, and it is shown that this controller succeeds in stabilizing the whole partial differential equation. The proof is based on a an explicit form of the classical Artstein transformation, and an appropriate Lyapunov function. A numerical simulation illustrate the constructive design method.

연구 동기 및 목표

• 경계 입력 지연이 있는 1D 반응-확산 방정식의 안정화에 대한 동기 부여 및 해법 제시.
• 무한히 대수 가능한 경계 제어 연산자를 다루는 구성적인 안정화 방법을 개발한다.
• 무한 차원 시스템을 불안정한 유한 차원 부분과 안정한 무한 차원 부분으로 분할한다.
• 불안정한 부분에 대한 지연 유한 차원 제어기를 설계하고 그것이 전체 PDE를 안정화함을 증명한다.
• 제안된 설계 방법의 수치 예를 제공한다.

제안 방법

• 지연된 경계 제어 문제를 지연을 모델링하기 위해 결합된 PDE-수송 시스템으로 변환한다.
• 상태를 불안정한 유한 차원 부분과 안정한 무한 차원 부분으로 분해하기 위해 스펙트럼 축소를 수행한다.
• 유한 차원 부분에 Artstein 모델 축소를 적용하여 입력 지연을 제거하고 극이동(pole-shifting)으로 안정화 이득을 설계한다.
• Artstein 변환을 역전시켜 피드백을 원래 상태의 함수로 표현하고 폐루프 시스템에 대한 Lyapunov 함수를 도출한다.
• 유한 차원 Lyapunov 항과 무한 차원 부분에 대한 감쇠 항을 결합한 Lyapunov 함수 V_D를 구성하고 지수 감쇠를 보인다.
• 설계 방법의 수치 예시를 제공한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 상수 지연을 갖는 경계 제어가 제어 없이 불안정한 1D 반응-확산 방정식을 안정화할 수 있는가?
• RQ2 전체 무한 차원 시스템의 안정화를 보장하기 위해 불안정한 유한 차원 부분만 안정시키는 것으로 충분한가?
• RQ3 Artstein 변환을 어떻게 사용하여 불안정 모드에 대한 명시적이고 구현 가능한 지연 피드백을 설계할 수 있는가?
• RQ4 제안된 Lyapunov 함수가 전체 계단식 PDE-수송 시스템의 지수적 안정성을 보장하는가?
• RQ5 지연 D가 설계와 안정성에 어떻게 영향을 주며 이 방법이 임의의 지연을 수용할 수 있는가?

주요 결과

• 임의의 D ≥ 0에 대해 1D 반응-확산 방정식의 지연된 Dirichlet 경계 제어에 대한 안정화 경계 피드백이 존재한다.
• 지연 입력을 갖는 유한 차원 자율 선형 제어기는 Artstein 축소와 극 이동을 통해 불안정한 유한 차원 부분을 안정화하도록 설계될 수 있다.
• 설계된 피드백을 원래 변수로 역변환하면 전체 PDE 시스템을 지수적으로 안정화하는 지연 피드백이 얻어진다.
• 유한 차원 이차항과 무한 차원 부분의 감쇠항을 결합한 Lyapunov 함수가 폐루프 시스템의 지수적 안정성을 입증한다.
• 지연 D에 대한 임의의 작은 가정이 필요하지 않으며 구성적 수치 예시를 포함한다.