[논문 리뷰] Feedback stabilization of dynamical systems with switched delays

Raphaël M. Jungers, Alessandro D’Innocenzo외 1명|arXiv (Cornell University)|2012. 07. 21.

Stability and Control of Uncertain Systems참고 문헌 28인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 다중 홉 무선 네트워크로 인해 발생하는 스위칭 지연을 가진 이산시간 선형 시스템에서 피드백 안정화를 모델링하고 분석하기 위한 스위칭 시스템 프레임워크를 제안한다. 지연에 의존하는 컨트롤러와 지연에 독립적인 컨트롤러 모두가 스위칭 시스템으로 모델링될 수 있음을 보이며, 안정성 검증 문제가 NP-난해함을 증명하고 임의의 정밀도로 근사된 안정성 분석을 위한 알고리즘적 방법을 제공함으로써 스위칭 동역학 하에서의 제어기 설계에 대한 새로운 도전 과제를 드러낸다.

ABSTRACT

We analyze a classification of two main families of controllers that are of interest when the feedback loop is subject to switching propagation delays due to routing via a wireless multi-hop communication network. We show that we can cast this problem as a subclass of classical switching systems, which is a non-trivial generalization of classical LTI systems with timevarying delays. We consider both cases where delay-dependent and delay independent controllers are used, and show that both can be modeled as switching systems with unconstrained switchings. We provide NP-hardness results for the stability verification problem, and propose a general methodology for approximate stability analysis with arbitrary precision. We finally give evidence that non-trivial design problems arise for which new algorithmic methods are needed.

연구 동기 및 목표

• 무선 네트워크 제어 시스템에 스위칭 지연을 포함하는 시스템을 스위칭 시스템으로 모델링하여, 표준 시간 변화 지연 모델을 초월한 라우팅 유도 동역학을 포괄한다.
• 스위칭 지연 하에서 선형 이산시간 시스템의 안정성을 분석하며, 지연에 의존하는 컨트롤러와 지연에 독립적인 컨트롤러 프레임워크를 구분한다.
• 안정성 검증의 계산 복잡도를 규명하여 일반적으로 NP-난해임을 증명한다.
• 임의의 정밀도로 근사된 안정성 분석을 위한 알고리즘적 절차를 개발하여 실용적 검증을 가능하게 한다.
• 특히 지연에 독립적인 컨트롤러 케이스에서 새로운 알고리즘적 방법이 필요한 비트레이스 설계 문제를 규명한다.

제안 방법

• 현재 및 과거 상태를 포함하는 상태 벡터를 사용하여 시스템을 스위칭 시스템으로 재구성함으로써 가변 지연 효과를 모델링할 수 있다.
• 지연에 의존하는 컨트롤러의 경우, 스위칭 신호를 알고 있으며 과거 제어 출력을 저장하여 현재 제어 조치를 계산한다.
• 지연에 독립적인 컨트롤러의 경우, 지연에 대한 지식 없이 과거 상태의 기억을 바탕으로 시스템을 안정화한다.
• 시스템 동역학은 스위칭 신호 σ(t)에 해당하는 서로 다른 라우팅 경로와 지연을 가진 스위칭 행렬 Mσ(t)로 표현된다.
• 세 차원 상태 벡터를 사용하여 x(t−1), x(t), 및 u1(t)를 추적함으로써 스위칭 지연 동역학을 정확히 표현할 수 있다.
• 안정성 평가에는 스위칭 행렬의 공동 스펙트럴 반경(JSR)을 사용하며, 수치적 검증에는 JSR 도구상자를 적용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 지연에 독립적인 컨트롤러 프레임워크에서 스위칭 지연을 가진 선형 피드백 시스템이 안정화 가능한 조건은 무엇인가?
• RQ2 이러한 시스템의 안정성 검증 문제가 NP-난해한가? 그리고 임의의 정밀도로 근사화할 수 있는가?
• RQ3 일차원 케이스에서 안정화 가능한 지연에 독립적인 컨트롤러가 존재하는 특정 매개변수 값(a, b, D)이 존재하는가?
• RQ4 신호 보존 정책(예: 0 유지 vs. 보존)의 선택이 간헐적 피드백이 있는 시스템에서 가용성 및 안정성에 미치는 영향은 무엇인가?
• RQ5 지연이 확률적으로 분포할 경우, 거의 확실한 안정성 분석에 볼록 최적화 기법을 적용할 수 있는가?

주요 결과

• 스위칭 지연을 가진 시스템의 안정성 검증 문제는 NP-난해하므로 일반적으로 효율적인 정확한 알고리즘이 존재하지 않는다.
• a > 3이면, 제어기 이득에 관계없이 시스템은 불안정하다. 이는 스위칭 행렬 M1의 트레이스가 최소 3이기 때문이다.
• a < 1일 경우, 시스템은 어떤 컨트롤러 없이도 안정하므로 개방 루프 시스템이 이미 안정하다.
• a = 1.1일 경우, 메모리 없이도 안정화 컨트롤러가 존재한다. 예를 들어 k2 = -0.5일 때, 스위칭 시스템은 안정하다.
• a = 2일 경우, 안정화 컨트롤러는 비영인 메모리(k1 ≠ 0)가 필요하다. 예를 들어 k1 = 0.4 및 k2 = -1.5일 때, k1 = 0이면 2×2 부분계가 불안정해지기 때문이다.
• 안정화 컨트롤러에 대해 스위칭 행렬 {M0, M1}의 공동 스펙트럴 반경은 1보다 작으며, JSR 도구상자를 통한 수치적 검증으로 안정성이 확인된다.