[논문 리뷰] Feedback Stabilization of the Two-Dimensional Navier-Stokes Equations by Value Function Approximation

Tobias Breiten, Karl Kunisch외 1명|arXiv (Cornell University)|2019. 02. 01.

Stability and Controllability of Differential Equations참고 문헌 49인용 수 20

한 줄 요약

이 논문은 2D 나비에-스토크스 방정식의 무한 시간 최적 제어 문제에서 평형 상태 주변의 가치 함수의 미세함을 확립하고, 그 테일러 전개를 통해 다항식 피드백 법칙을 유도하며, 이를 통해 유도된 안정화 제어와 닫힌 루프 시스템의 수렴 속도를 증명한다. 가치 함수의 도함수는 2차 릿카티 방정식과 일반화된 르프누프 방정식을 만족하며, 이는 근사화를 통한 효율적 피드백 안정화를 가능하게 한다.

ABSTRACT

The value function associated with an optimal control problem subject to the Navier-Stokes equations in dimension two is analyzed. Its smoothness is established around a steady state, moreover, its derivatives are shown to satisfy a Riccati equation at the order two and generalized Lyapunov equations at the higher orders. An approximation of the optimal feedback law is then derived from the Taylor expansion of the value function. A convergence rate for the resulting controls and closed-loop systems is demonstrated.

연구 동기 및 목표

• 2D 나비에-스토크스 방정식의 무한 시간 최적 제어 문제에 대한 가치 함수의 정칙성을 분석한다.
• 가치 함수가 복소해석적 의미가 아닌 고전적 의미에서 해밀턴-자코비-벨만(HJB) 방정식의 해임을 특성화한다.
• 평형 상태 주변에서 가치 함수의 테일러 전개를 통해 다항식 피드백 법칙을 도출한다.
• 유도된 피드백 제어 및 해당 닫힌 루프 시스템에 대한 수렴 속도를 확립한다.
• 가치 함수의 2차 도함수는 대수적 릿카티 방정식을 만족하고, 고차 도함수는 일반화된 르프누프 방정식을 만족함을 보여준다.

제안 방법

• 가치 함수가 평형 상태 주변에서 미세함을 보임을 보여주어 HJB 방정식의 고전적 해를 가능하게 한다.
• 가치 함수의 2차 도함수가 대수적 릿카티 방정식을 만족함을 증명한다.
• 고차 도함수는 나비에-스토크스 방정식의 비선형적 구조에서 유래된 일반화된 르프누프 방정식을 만족함을 보여준다.
• 가치 함수의 테일러 전개를 통해 주어진 차수까지의 피드백 제어 법칙을 구성한다.
• 나비에-스토크스 방정식의 비선형 항에 특화된 기능적 해석적 추정을 사용하여 닫힌 루프 시스템의 잘 정의됨을 확립한다.
• 가치 함수의 근사 오차에 기반하여 피드백 제어 및 유도된 닫힌 루프 시스템의 수렴 속도를 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 2D 나비에-스토크스 방정식의 무한 시간 최적 제어 문제에서 평형 상태 주변의 가치 함수는 미세한가?
• RQ2 가치 함수의 도함수는 릿카티 방정식과 일반화된 르프누프 방정식의 해로 특성화될 수 있는가?
• RQ3 가치 함수의 테일러 전개는 정량화 가능한 수렴 속도를 갖는 안정화 피드백 법칙을 도출하는가?
• RQ4 나비에-스토크스 방정식의 비선형 항은 고차 도함수에 대한 일반화된 르프누프 방정식의 구조에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 가치 함수를 테일러 전개로 근사할 때 피드백 제어 및 닫힌 루프 시스템의 수렴 속도는 얼마인가?

주요 결과

• 가치 함수는 평형 상태 주변에서 미세하며, HJB 방정식이 복소해석적 의미가 아닌 고전적 의미에서 만족된다.
• 가치 함수의 2차 도함수는 대수적 릿카티 방정식을 만족한다.
• 고차 도함수는 2D 나비에-스토크스 방정식의 비선형적 구조에 특화된 일반화된 르프누프 방정식을 만족한다.
• 테일러 전개를 통해 유도된 다항식 피드백 법칙은 피드백 안정화를 위한 구축 가능한 방법을 제공한다.
• 유도된 피드백 제어는 시스템을 안정화시키며, 제어 및 닫힌 루프 시스템에 대한 수렴 속도가 확립된다.
• 작은 초기 편차 하에서 닫힌 루프 시스템의 잘 정의됨이 보장되며, 제어는 상태에 대한 유계 선형 연산자를 통해 작용한다.