[논문 리뷰] Feedback Stabilization over Commutative Rings: Further study of the coordinate-free approach

Kazuyoshi Mori, Kenichi Abe|ArXiv.org|1999. 02. 22.

Advanced Topics in Algebra인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 가환환 위의 MIMO 시스템에 대한 피드백 안정화를 좌표 불변(coordinate-free) 접근법으로 개발하며, Sule의 결과를 일반화한다. 두 가지 기준을 도입한다: 인과성 시스템에서 생성된 프로젝티브 모듈 기반 기준과 일반화된 기본 인자 기반 기준. 서로소 인수 분해나 엄격한 인과성 조건을 요구하지 않으며, 이는 이산 유한 시간 지연 시스템에 적용 가능하다.

ABSTRACT

This paper is concerned with the coordinate-free approach to control systems. The coordinate-free approach is a factorization approach but does not require the coprime factorizations of the plant. We present two criteria for feedback stabilizability for MIMO systems in which transfer functions belong to the total rings of fractions of commutative rings. Both of them are generalizations of Sule's results in [SIAM J. Control Optim., 32-6, 1675-1695(1994)]. The first criterion is expressed in terms of modules generated from a causal plant and does not require the plant to be strictly causal. It shows that if the plant is stabilizable, the modules are projective. The other criterion is expressed in terms of ideals called generalized elementary factors. This gives the stabilizability of a causal plant in terms of the coprimeness of the generalized elementary factors. As an example, a discrete finite-time delay system is considered.

연구 동기 및 목표

• 가환환 위의 MIMO 시스템에 대한 Sule의 피드백 안정성 결과를 좌표 불변 프레임워크를 사용해 일반화하기.
• 기존 인수 분해 접근법의 핵심 제약인 식물의 서로소 인수 분해가 필요 없도록 제거하기.
• 인과성 및 엄격히 인과성이 아닌 시스템 모두에 적용 가능한 안정성 기준 개발하기.
• 공액성 조건을 통한 안정성 평가 도구로 일반화된 기본 인자를 도입하기.
• 이산 유한 시간 지연 시스템 예제를 통해 프레임워크의 적용 가능성을 보여주기.

제안 방법

• 식물의 전달 함수로부터 생성된 모듈의 프로젝티브 성질을 이용해 피드백 안정성 조건을 수립한다. 이는 전체 분수환 위에서 이루어진다.
• 일반화된 기본 인자를 식물의 전달 함수 행렬에서 유도된 이상으로 도입한다.
• 이러한 일반화된 기본 인자의 공약성 조건을 바탕으로 안정성 기준을 수립한다.
• 모듈 이론적 접근을 사용해 엄격히 인과성이 아닌 시스템을 다루며, 엄격한 인과성에 대한 가정을 피한다.
• 가환환과 그 전체 분수환의 대수적 구조를 활용해 제어 이론 결과를 일반화한다.
• 명시적 상태공간 표현이나 매개변수화 없이 좌표 불변 프레임워크를 활용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 식물의 서로소 인수 분해에 의존하지 않고 피드백 안정성은 어떻게 특성화할 수 있는가?
• RQ2 식물로부터 생성된 모듈에 대한 어떤 대수적 조건이 가환환 위에서의 안정성 보장에 기여하는가?
• RQ3 일반화된 기본 인자의 개념을 좌표 불변 설정에서 안정성 평가에 활용할 수 있는가?
• RQ4 제안된 프레임워크는 Sule의 결과를 엄격히 인과성이 아닌 MIMO 시스템으로 어떻게 확장하는가?
• RQ5 프로젝티브 모듈은 가환환 위에서 안정 가능한 시스템을 특성화하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 인과성 MIMO 식물은 그 전달 함수로부터 생성된 모듈이 전체 분수환 위에서 프로젝티브일 때이고, 그때만 피드백 안정화 가능하다.
• 인과성 식물의 안정성은 그 일반화된 기본 인자의 공약성과 동치이다.
• 제안된 기준은 서로소 인수 분해와 엄격한 인과성 조건을 제거함으로써 Sule의 결과를 일반화한다.
• 이 프레임워크는 이산 시간 예제에서 보여지듯이 유한 시간 지연 시스템에도 적용 가능하다.
• 좌표 불변 접근법은 모듈 이론과 이상 이론 조건을 사용해 안정성의 통합적인 대수적 특성화를 제공한다.
• 결과는 가환환의 전체 분수환에 대해 유효하며, 다항식이나 유리 함수 환을 넘어서 적용 범위를 넓힌다.