[논문 리뷰] Fekete-Szego Inequality For Analytic And Bi-univalent Functions Subordinate To (p; q)-Lucas Polynomials

Ala Amourah|arXiv (Cornell University)|2020. 03. 30.

Analytic and geometric function theory참고 문헌 15인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 (p,q)-Lucas 다항식에 대하여 하위함수인 해석적이고 이중등각 함수의 새로운 부분류를 제안하고, 이 클래스에 대한 Fekete-Szegő 문제를 해결한다. (p,q)-Lucas 다항식의 재귀관계로부터 유도된 계수 한계와 하위함수 원리의 응용을 통해, 함수 |a₃ − υa₂²|에 대한 정밀한 부등식을 수립하며, 기존의 이중별성 함수에 대한 결과를 일반화하고, 매개변수화된 미분 하위함수를 포함하는 더 넓은 함수 클래스로 계수 추정을 확장한다.

ABSTRACT

In the present paper, a subclass of analytic and bi-univalent functions by means of (p; q)- Lucas polynomials is introduced. Certain coefficients bounds for functions belonging to this subclass are obtained. Furthermore, the Fekete-Szego problem for this subclass is solved.

연구 동기 및 목표

• (p,q)-Lucas 다항식을 사용하여 해석적이고 이중등각 함수의 새로운 부분류를 정의한다.
• 이 새로운 클래스에서 타일러-테일러 급수 계수 a₂와 a₃에 대한 정밀한 계수 한계를 도출한다.
• 이 부분류에 속하는 함수에 대한 Fekete-Szegő 문제를 해결하고, |a₃ − υa₂²|에 대한 추정치를 제공한다.
• 매개변수화된 미분 하위함수를 포함함으로써, 이중별성 함수 및 이중볼록 함수에 대한 기존 결과를 일반화한다.

제안 방법

• 클래스 𝔅Σμ(α,λ,δ)는 (p,q)-Lucas 다항식 Lp,q,k(x)를 포함하는 미분 하위함수 조건을 통해 정의된다.
• 역함수 전개와 하위함수 기법을 사용하여 a₂와 a₃의 계수 한계를 도출한다.
• 표현 a₃ − υa₂²를 f와 f⁻¹의 계수를 나타내는 변수 r₂, s₂, r₁, s₁로 변환하여 분석함으로써 Fekete-Szegő 부등식을 수립한다.
• 해결은 (p,q)-Lucas 다항식의 재귀관계와 생성함수에 기반하며, Lp,q,1(x) = p(x) 및 Lp,q,2(x) = p²(x) + 2q(x)로 정의된다.
• 해결은 |φ(υ,x)|가 1/(2(μ + 2λ + 2ξδ))와의 상대적 크기에 따라 경우에 따라 분할하여 도출된다.
• 특수한 경우는 μ = δ = 0, λ = 1으로 설정함으로써, 이중별성 함수에 대한 기존 결과를 회복한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 해석적이고 이중등각 함수 중 (p,q)-Lucas 다항식에 하위함수인 함수의 두 번째 및 세 번째 타일러-테일러 계수에 대한 정밀한 계수 한계는 무엇인가?
• RQ2 이 새로운 클래스에 속하는 함수에 대해 Fekete-Szegő 함수 |a₃ − υa₂²|는 어떻게 행동하는가?
• RQ3 매개변수 μ, λ, δ 및 (p,q)-Lucas 다항식의 구조가 계수 추정에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 유도된 부등식은 어떻게 기존의 이중별성 및 이중볼록 함수에 대한 결과를 일반화하는가?
• RQ5 υ = 1 또는 μ = δ = 0, λ = 1일 때 Fekete-Szegő 부등식의 극한 경우는 무엇인가?

주요 결과

• |a₂|의 정밀한 상한은 2|p(x)|√|p(x)| / √| (μ+2λ)[1+μ+12δ/(2λ+1)]p²(x) − 2(μ+λ+2ξδ)²(p²(x)+2q(x)) |로 주어진다.
• |a₃|의 상한은 p²(x)/ (μ+λ+2ξδ)² + |p(x)| / (μ+2λ+2ξδ)로 유계된다.
• Fekete-Szegő 함수에 대해, |a₃ − υa₂²| ≤ |p(x)| / (μ+2λ+2ξδ) 이며, 이는 |υ−1| ≤ |Υ(x)| / [2(μ+2λ+2ξδ)]일 때 성립하며, Υ(x)는 논문에서 정의된다.
• |υ−1| ≥ |Υ(x)| / [2(μ+2λ+2ξδ)]일 경우, 상한은 2|p(x)|³|1−υ| / |p(x)Υ(x)|로 변형된다.
• 특수한 경우 μ = δ = 0, λ = 1일 때, |a₃ − υa₂²| ≤ |p(x)| 이며, 이는 |υ−1| ≤ |q(x)/p(x)|일 때 성립하고, 그 외의 경우 2|p(x)|³|1−υ| / |4q(x)|가 된다.
• υ = 1일 경우, 상한은 |a₃ − a₂²| ≤ |p(x)| / (μ+2λ+2ξδ)로 단순화되며, 이는 이중등각 함수에 대한 고전적 Fekete-Szegő 부등식을 일반화한다.