[논문 리뷰] Feldman-Katok pseudometric and the GIKN construction of nonhyperbolic ergodic measures

Dominik Kwietniak, Martha Łącka|arXiv (Cornell University)|2017. 02. 07.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 16인용 수 14

한 줄 요약

이 논문은 비하이퍼볼릭 에르고딕 측도의 GIKN 구성에 대해 Feldman-Katok 준거리 $\bar{F}_K$를 도입한다. 이로써 모든 이러한 측도가 유비쿼터스 크로네커(즉, 표준 또는 영 엔트로피를 가진 유비쿼터스 베르누울리 측도) 측도임을 증명하며, 이는 오랫동안 남아있던 그들의 엔트로피 문제를 해결하고, 극한 측도의 구조에 대한 위상적 특성화를 제공한다.

ABSTRACT

The GIKN construction was introduced by Gorodetski, Ilyashenko, Kleptsyn, and Nalsky in [Functional Analysis and its Applications, 39 (2005), 21--30]. It gives a nonhyperbolic ergodic measure which is a weak$^*$ limit of a special sequence of measures supported on periodic orbits. This method was later adapted by numerous authors and provided examples of nonhyperbolic invariant measures in various settings. We prove that the result of the GIKN construction is always a loosely Kronecker measure in the sense of Ornstein, Rudolph, and Weiss (equivalently, standard measure in the sense of Katok, another name is loosely Bernoulli measure with zero entropy). For a proof we introduce and study the Feldman-Katok pseudometric $\bar{F_{K}}$. The pseudodistance $\bar{F_{K}}$ is a topological counterpart of the $\bar f$ metric for finite-state stationary stochastic processes introduced by Feldman and, independently, by Katok, later developed by Ornstein, Rudolph, and Weiss. We show that every measure given by the GIKN construction is the $\bar{F_{K}}$-limit of a sequence of periodic measures. On the other hand we prove that a measure which is the $\bar{F_{K}}$-limit of a sequence of ergodic measures is ergodic and its entropy is smaller or equal than the lower limit of entropies of measures in the sequence. Furthermore we demonstrate that $\bar{F_{K}}$-Cauchy sequence of periodic measures tends in the weak$^*$ topology either to a periodic measure or to a loosely Kronecker measure.

연구 동기 및 목표

• GIKN 구성이 영 엔트로피를 갖는지를 묻는 열린 문제를 해결하기 위해.
• GIKN 구성에서 순환 측도의 약한* 극한의 위상적 및 측도론적 성질을 특성화하기 위해.
• 유한 상태 프로세스의 $\bar{f}$-거리에 대한 위상적 대응으로서 Feldman-Katok 준거리 $\bar{F}_K$를 도입하고 연구하기 위해.
• GIKN 극한 측도가 기저 다이내믹스에 관계없이 항상 에르고딕이면서 영 엔트로피를 갖는다는 것을 입증하기 위해.
• 에르고딕 측도의 맥락에서 $\bar{F}_K$-수렴과 약한* 수렴 간의 관계를 명확히 하기 위해.

제안 방법

• 콤��� 메트릭 공간 위 연속 다이내믹스 시스템에 적합한, $\bar{f}$-거리의 위상적 동반자로 Feldman-Katok 준거리 $\bar{F}_K$를 도입한다.
• 에르고딕 측도의 시퀀스의 $\bar{F}_K$-극한이 되는 측도는 스스로 에르고딕이면서, 근사 측도들의 엔트로피의 lim inf 이하로 엔트로피가 유계임을 증명한다.
• 순환 측도의 $\bar{F}_K$-코시 수열은 약한* 수렴으로써 또는 순환 측도이거나 유비쿼터스 크로네커 측도로 수렴함을 보여준다.
• GIKN 구성의 분석을 위해 $\bar{F}_K$-위상을 활용하여, 극한 측도가 $\bar{F}_K$-거리가 감소하는 순환 측도의 수열의 $\bar{F}_K$-극한임을 보인다.
• Ornstein, Rudolph, Weiss의 표준(유비쿼터스 크로네커) 측도 이론 결과를 적용하여, GIKN 극한 측도가 표준이므로 영 엔트로피를 가짐을 결론짓는다.
• $\bar{f}$-거리 이론과 연속 시스템으로의 확장 결과를 $\bar{F}_K$-프레임워크로 이행하여 엔트로피 및 동형 유형에 관한 결과를 전이한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 GIKN 구성은 항상 영 엔트로피 측도를 생성하는가?
• RQ2 GIKN 구성에서의 약한* 극한의 정확한 위상적 및 측도론적 성격은 무엇인가?
• RQ3 Feldman-Katok 준거리 $\bar{F}_K$는 $\bar{f}$-거리 및 표준 측도 이론과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ4 $\bar{F}_K$-위상은 순환 근사의 극한에서 에르고딕성과 엔트로피를 특성화하는 데 사용될 수 있는가?
• RQ5 어떤 조건에서 순환 측도의 수열이 비순환적이며 비하이퍼볼릭 에르고딕 측도로 $\bar{F}_K$-거리에서 수렴하는가?

주요 결과

• GIKN 구성은 항상 유비쿼터스 크로네커 측도를 생성하며, 이는 Katok의 관점에서 표준 측도와 동치이면서 영 엔트로피를 갖는다.
• GIKN 구성에서 유도된 모든 측도는 에르고딕이며, 순환 측도의 수열의 $\bar{F}_K$-극한이다.
• 에르고딕 측도의 수열의 $\bar{F}_K$-극한이 되는 측도는 스스로 에르고딕이며, 근사 측도들의 엔트로피의 lim inf 이하로 엔트로피를 갖는다.
• 순환 측도의 $\bar{F}_K$-코시 수열은 약한* 수렴으로써 또는 순환 측도이거나 유비쿼터스 크로네커 측도로 수렴한다.
• GIKN 극한 측도의 지지집합은 $\bigcap_{k=1}^\infty \overline{\bigcup_{n\geq k} \Gamma_n}$ 이며, 여기서 $\Gamma_n$은 구성에서의 순환 궤도이다.
• 이러한 결과는 [10, Theorem B]와 같은 이전 연구를 강화하여, 결과 측도가 비하이퍼볼릭일 뿐 아니라 에르고딕이면서 영 엔트로피임을 확인한다.