[논문 리뷰] Fermionic Hamiltonians for quantum simulations: a general reduction scheme

Panagiotis Kl. Barkoutsos, Nikolaj Moll외 6명|arXiv (Cornell University)|2017. 06. 12.

Quantum and electron transport phenomena인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 k-로컬 페르미온 해밀토니안을 2-로컬 큐비트 해밀토니안으로 줄이는 데에 있어 결합 상수의 분포를 최소화하면서도, 수치 최적화 기법인 저랭크 최적화(LRO)를 제안한다. 섭동 기반 기구 방법(Perturbative gadget methods)은 지수적으로 변화하는 결합 상수를 요구하지만, LRO는 결합 상수의 분포를 약 10^8배 감소시켜(약 10^8에서 <40으로) 현재의 아날로그 양자 하드웨어에서 높은 정밀도로 원래 스펙트럼과 밀도 행렬을 구현할 수 있도록 한다.

ABSTRACT

Many-body fermionic quantum calculations performed on analog quantum computers are restricted by the presence of k-local terms, which represent interactions among more than two qubits. These originate from the fermion-to-qubit mapping applied to the electronic Hamiltonians. Current solutions to this problem rely on perturbation theory in an enlarged Hilbert space. The main challenge associated with this technique is that it relies on coupling constants with very different magnitudes. This prevents its implementation in currently available architectures. In order to resolve this issue, we present an optimization scheme that unfolds the k-local terms into a linear combination of 2-local terms, while ensuring the conservation of all relevant physical properties of the original Hamiltonian, with several orders of magnitude smaller variation of the coupling constants.

연구 동기 및 목표

• 현재 아날로그 양자 시뮬레이터에서 k-로컬 항을 구현하는 데 있어, 수많은 주기수의 차이를 보이는 결합 상수를 요구하는 문제를 해결하기 위해.
• 섭동 해밀토니안 기구(Perturbative Hamiltonian Gadgets, PHGs)의 한계를 극복하기 위해, 결합 강도의 분포가 지수적으로 큰 문제가 되어 실제 장치에서는 구현이 불가능한 문제를 해결하기 위해.
• 원래 해밀토니안의 물리적 스펙트럼과 밀도 행렬을 줄임에 있어 유지하는 수치 최적화 기법을 개발하기 위해.
• 결합 강도가 좁은 실험적으로 구현 가능한 범위 내에 유지되도록 함으로써, 전자 구조 문제의 실현 가능한 양자 시뮬레이션을 가능하게 하기 위해.

제안 방법

• 이 방법은 앤실라 큐비트를 추가하여 힐베르트 공간을 확장함으로써, k-로컬 항을 하나씩 (k-1)-로컬 항으로 단계적으로 줄인다.
• 저랭크 최적화(LRO) 절차는 가장 관련성이 높은 (k-1)-로컬 항을 선택하고, 비용 함수를 최소화하면서도 물리적 성질을 유지하도록 그 계수를 최적화한다.
• 이 최적화는 감소된 밀도 행렬과 목표 물리 상태 간의 차이를 최소화하는 제약 조건을 갖춘 수치적 접근 방식을 사용한다.
• 이 방법은 변환된 해밀토니안의 고유 스펙트럼과 감소된 밀도 행렬이 원래 k-로컬 해밀토니안과 거의 정확히 일치하도록 보장한다.
• 이 방법은 단계적으로 적용되며, 3-로컬 항에서 시작하여 확장된 힐베르트 공간 H_p ⊗ H_a 안에서 2-로컬 항으로 줄인다.
• LRO 접근법은 PHG가 넓은 범위의 결합 상수에 의존하는 섭동 전개에 기반하는 것과는 달리, 주요 항들의 조밀한 집합에 집중함으로써 결합 상수 분포의 지수적 스케일링을 피한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 k-로컬 페르미온 해밀토니안을 결합 상수가 수많은 주기수의 차이를 보이지 않는 범위에서 2-로컬 형태로 줄일 수 있는가?
• RQ2 k-로컬 항에서 2-로컬 항으로 줄이는 과정에서 원래 해밀토니안의 물리적 스펙트럼과 밀도 행렬을 어떻게 유지할 수 있는가?
• RQ3 감소된 밀도 행렬에서 목표 정밀도를 유지하기 위해 필요한 결합 계수의 수치 정밀도는 얼마인가?
• RQ4 수치 최적화 기법이 결합 상수 분포와 물리적 정밀도 측면에서 섭동 기구 방법을 능가할 수 있는가?
• RQ5 작은 결합 매개변수의 변동에 대해 최적화된 해가 얼마나 안정적인가? 실험적 구현을 위해 필요한 정밀도는 얼마인가?

주요 결과

• LRO 방법은 PHG에서의 약 10^8 수준이었던 결합 상수의 분포를 <40으로 줄여, 현재의 양자 하드웨어에서의 실현 가능성에 있어 극적인 향상을 이룬다.
• LRO-9 접근법은 기준 3-로컬 해밀토니안과 비교해 감소된 밀도 행렬에서 최대 오차가 10^-6 이하로 유지된다.
• 최적화된 결합 매개변수 d_i에 1%의 변동이 있을 경우, 밀도 행렬에서 약 10%의 오차가 발생함을 보여, 매우 민감한 것을 시사한다.
• 밀도 행렬에서 10^-6의 정밀도를 확보하기 위해서는 결합 강도 d_i에 대해 10^-4%의 정밀도가 필요하며, 이는 수치적으로는 구현 가능하지만 실험적으로는 과제가 된다.
• LRO 방법은 모든 줄임 단계에서 고유 스펙트럼과 밀도 행렬을 포함한 물리적 성질을 완전히 제어할 수 있다.
• 이 방법은 원하는 정밀도에 따라 결합 상수 분포가 지수적으로 증가하지 않는다는 점을 보여주며, 이는 향후 아날로그 양자 시뮬레이터에 적합하다.