[논문 리뷰] Fermionic Matrix Product Operators and Topological Phases of Matter

Dominic J. Williamson, Nick Bultinck외 2명|arXiv (Cornell University)|2016. 09. 09.

Spectral Theory in Mathematical Physics인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 두 차원 페르미온계의 위상적 상과 대칭 보호 위상(위상적 상)을 분류하기 위한 틀로 페르미온 행렬 곱 연산자(fMPOs)를 도입한다. 페르미온 통계를 포함하는 행렬 곱 연산자 대수를 확장함으로써, 저자들은 fMPOs가 자연스럽게 페르미온 통합 텐서 카테고리를 실현하고, 세 개의 코homology 군을 통해 SPT 상을 분류함: $H^1(G,\mathbb{Z}_2)$, $H^2(G,\mathbb{Z}_2)$, 및 $ar{H}^3(G,U(1))$로, 이는 페르미온 스트링넷 상태의 텐서 네트워크 실현을 제공하고, 페르미온 위상적 순서의 기초를 마련한다.

ABSTRACT

We introduce the concept of fermionic matrix product operators, and show that they provide a natural representation of fermionic fusion tensor categories. This allows for the classification of two dimensional fermionic topological phases in terms of matrix product operator algebras. Using this approach we give a classification of fermionic symmetry protected topological phases with respect to a group $G$ in terms of three cohomology groups: $H^1(G,\mathbb{Z}_2)$, describing which matrix product operators are of Majorana type, $H^2(G,\mathbb{Z}_2)$, describing the fermionic nature of the fusion tensors that arise when two matrix product operators are multiplied, and the supercohomolgy group $\bar{H}^3(G,U(1))$ which corresponds to the associator that changes the order of fusion. We also generalize the tensor network description of the string-net ground states to the fermionic setting, yielding simple representations of a class that includes the fermionic toric code.

연구 동기 및 목표

• 페르미온 통계를 고려하는 행렬 곱 연산자(fMPOs)를 사용하여 페르미온 위상적 상을 분류하는 틀을 개발하기 위해.
• 페르미온 시스템에 대한 텐서 네트워크 형식을 도입함으로써 $
  \mathbb{Z}_2$-grade構조를 가진 페르미온 MPO(fMPOs)를 제안하기 위해.
• 메이저라나 성질, 융합 통계, 그리고 결합성 조건을 반영하는 코homology 군을 통해 페르미온 대칭 보호 위상(SPT) 상을 분류하기 위해.
• fMPOs를 사용하여 스트링넷 구성법을 페르미온 시스템으로 일반화하고, 위상적 순서에서의 역할을 확립하기 위해.
• 고정점 모델을 초월한 페르미온 위상적 순서와 상전이를 연구하기 위한 기초를 마련하기 위해.

제안 방법

• 페르미온 anyon과 위상적 순서를 모델링하기 위해 $
  \mathbb{Z}_2$-grade를 가진 페르미온 행렬 곱 연산자(fMPOs)를 도입하기 위해.
• fMPOs의 국소 융합 규칙과 결합자(associators)를 정의하고, 일관성을 확보하기 위해 페르미온 펜타곤 방정식을 만족해야 함을 보여주기 위해.
• fMPOs를 사용하여 페르미온 스트링넷 상태의 텐서 네트워크 표현을 구성함으로써, 보소닉 PEPS 형식을 일반화하기 위해.
• fMPO 대수의 게이지 등가성과 모리타 등가성을 사용하여 초선별 섹터와 위상적 순서를 분류하기 위해.
• 대칭군 $G$와 관련된 fMPO 대수를 분석함으로써 SPT 상을 분류하는 프레임워크를 적용하고, 세 개의 코homology 군을 통해 분류에 도달하기 위해.
• 페르미온 통계를 고려한 풀링-스루 방정식에 기여하여, fMPOs가 다양한 경계 조건 하에서 텐서 네트워크를 통과할 수 있음을 보장하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비아벨 통계와 메이저라나 제로 모드를 가진 페르미온 위상적 상을 기술하기 위해 행렬 곱 연산자를 어떻게 일반화할 수 있는가?
• RQ2 2차원 시스템에서 페르미온 진동자의 융합과 교환에 기초하는 대수적 구조는 무엇이며, fMPOs를 통해 어떻게 기록되는가?
• RQ3 현장 단위 대칭을 가진 페르미온 SPT 상은 코homology 군 $H^1(G,\mathbb{Z}_2)$, $H^2(G,\mathbb{Z}_2)$, 및 $ar{H}^3(G,U(1))$로 어떻게 분류되는가?
• RQ4 fMPOs를 사용하여 스트링넷 구성법을 어떻게 페르미온 시스템으로 확장할 수 있으며, 페르미온 스위프트 규칙의 역할은 무엇인가?
• RQ5 페르미온 PEPS에서 fMPOs의 올바른 풀링-스루 조건은 무엇이며, 어떻게 대칭 변환 하에서 위상적 불변성을 보장하는가?

주요 결과

• 현장 단위 대칭군 $G$를 가진 페르미온 SPT 상의 분류는 세 개의 코homology 군으로 주어지며: $H^1(G,\mathbb{Z}_2)$, $H^2(G,\mathbb{Z}_2)$, 및 $ar{H}^3(G,U(1))$로, 각각 메이저라나 타입 연산자, 페르미온 융합, 그리고 결합성 제약 조건에 해당한다.
• 페르미온 MPO는 페르미온 융합 텐서 카테고리의 구조를 실현하는 $
  \mathbb{Z}_2$-grade 대수를 형성하며, 이는 페르미온 시스템에서 anyonic 통계를 기술하는 데 가능하게 한다.
• fMPO 형식은 페르미온 스트링넷 기저 상태의 텐서 네트워크 구성법을 허용하며, 보소닉 PEPS 형식을 페르미온 통계를 포함하도록 일반화한다.
• fMPO 융합의 일관성은 페르미온 펜타곤 방정식에 의해 지배되며, 이는 게이지 등가성 하에 결합성을 보장한다.
• 이 프레임워크는 fMPO 가상 대칭이 페르미온 PEPS에서 스핀 구조와 경계 조건 의존성으로 인해 보조적인 풀링-스루 조건이 필요하다는 것을 드러내며, 이는 보소닉 경우에 존재하지 않는 미묘한 점이다.
• 결과는 후속 연구(Bultinck 등, 2017b)에 의해 대체되며, 이 연구는 fPEPS에서 fMPO 대칭과 풀링-스루 방정식을 완전히 다루고 있다.