[논문 리뷰] Fermionic representation for basic hypergeometric functions related to Schur polynomials

A. Yu. Orlov, D. M. Scherbin|ArXiv.org|2000. 01. 06.

Nonlinear Waves and Solitons참고 문헌 28인용 수 31

한 줄 요약

이 논문은 슈어 다항식과 관련된 기본 초함수에 대한 페르미온 표현을 수립하며, 이들이 KP 및 토다 격자(KP 및 Toda lattice, TL) 계열의 타우 함수임을 보여준다. 행렬식 및 적분 표현을 유도하여 밀느(Milne)의 결과를 일반화하고, 원환위 상의 $Ψ$ DO에 대한 군 2-코사이클로서 이러한 함수를 특정하고, 밀느 변환과 고차 시간 변수를 통해 $q$-직교다항식과의 명시적 연결을 제시한다.

ABSTRACT

We present the fermionic representation for the q-deformed hypergeometric functions related to Schur polynomials considered by S.Milne \cite{Milne}. For $q=1$ these functions are also known as hypergeometric functions of matrix argument which are related to zonal spherical polynomials for $GL(N,C)/U(N)$ symmetric space. We show that these multivariable hypergeometric functions are tau-functions of the KP hierarchy. At the same time they are the ratios of Toda lattice tau-functions considered by Takasaki in \cite{Tinit}, \cite{T} evaluated at certain values of higher Toda lattice times. The variables of the hypergeometric functions are related to the higher times of those hierarchies via Miwa change of variables. The discrete Toda lattice variable shifts parameters of hypergeometric functions. Hypergeometric functions of type ${}_pF_s$ can be also viewed as group 2-cocycle for the $Ψ$DO on the circle of the order $p-s \leq 1$ (the group times are higher times of TL hierarchy and the arguments of hypergeometric function). We get the determinant representation and the integral representation of special type of KP tau-functions, these results generalize some of Milne's results in \cite{Milne}. We write down a system of linear differential and difference equations for these tau-functions (string equations). We present also fermionic representation for special type of Gelfand-Graev hypergeometric functions.

연구 동기 및 목표

• 스슈어 다항식과 관련된 기본 초함수에 대한 페르미온 Fock 공간 표현을 수립하기 위해.
• 이들 다변수 초함수들이 KP 계열의 타우 함수이자 특정 고차 시간 값에서의 토다 격자 타우 함수의 비율임을 보여주기 위해.
• 밀느의 초함수 결과를 일반화하기 위해 행렬식 및 적분 표현을 도출하기 위해.
• 이들 초함수들이 원환위 상의 $Ψ$ DO에 대한 군 2-코사이클임을 식별하고, 고차 시간을 군 매개변수로 삼기 위해.
• 특수한 $q$-직교다항식, 예를 들어 $q$-하안, $q$-라카, 그리고 리틀 $q$-자코비 다항식의 명시적 페르미온 실현을 제공하기 위해.

제안 방법

• 피어미온 Fock 공간 형식과 정점 연산자, 이중항성 항등식을 사용하여 KP 및 토다 격자 타우 함수를 구성한다.
• 밀느의 변수 변경을 적용하여 초함수 변수와 KP 및 TL 계열의 고차 시간 간의 관계를 설정한다.
• 보존화 규칙과 페르미온 상태 위에서 정점 연산자의 작용을 통해 행렬식 표현을 도출한다.
• 베이커-아키에저 함수와 사토 그라스만만 프레임워크를 사용하여 적분 표현을 구성한다.
• 토다 격자 설정에서 특정한 $r(D)$ 연산자를 통해 초함수와 $q$-직교다항식 간의 연결을 수립한다.
• 가우스 인수분해 문제와 추가 대칭을 사용하여 스트링 방정식과 코사이클 구조를 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 스슈어 다항식과 관련된 기본 초함수는 어떻게 페르미온 Fock 공간 상태의 관점에서 표현될 수 있는가?
• RQ2 이들 초함수와 KP 및 토다 격자 계열의 타우 함수 사이의 정확한 관계는 무엇인가?
• RQ3 이들 초함수에 대해 행렬식 및 적분 표현을 도출할 수 있으며, 밀느의 결과를 일반화할 수 있는가?
• RQ4 이들 함수는 원환위 상의 $Ψ$ DO에 대한 군 2-코사이클로 어떻게 나타나며, 고차 시간은 이 맥락에서 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 특수한 $q$-직교다항식, 예를 들어 $q$-하안 및 $q$-라카 다항식의 페르미온 실현은 무엇인가?

주요 결과

• 초함수 ${}_{p}\tau_{s}^{(q)}$ 가 KP 계열의 타우 함수이자 특정 고차 시간 값에서의 토다 격자 타우 함수의 비율임을 입증하였다.
• KP 타우 함수 $\tau_{r}(M,{\bf t},\beta)$ 에 대한 행렬식 표현이 유도되었으며, 밀느의 결과를 일반화하였다.
• 베이커-아키에저 함수와 이중항성 항등식을 사용하여 특수한 유형의 KP 타우 함수에 대한 적분 표현을 구성하였다.
• 초함수들이 원환위 상의 $Ψ$ DO에 대한 군 2-코사이클로 식별되었으며, 고차 시간가 군 매개변수이고, 초함수의 매개변수는 그들의 매개변수로 작용한다.
• 토다 격자 설정에서 특정한 $r(D)$ 연산자를 통해 $q$-하안, $q$-라카, 그리고 리틀 $q$-자코비 다항식의 페르미온 표현을 명시적으로 구성하였다.
• 타우 함수에 대해 선형 미분 및 차분 방정식(스트링 방정식)의 체계를 유도하였으며, 가우스 초함수 방정식을 일반화하였다.