[논문 리뷰] Fermionic tomography and learning

Bryan O’Gorman|arXiv (Cornell University)|2022. 07. 29.

Quantum Computing Algorithms and Architecture인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 페르미온 고유의 가우시안 및 클리포드 성질을 모두 갖는 유니터리 집합을 사용하여 페르미온 그림자 톰그래피의 조합론적 분석을 제시하며, 분산 추정기의 보정과 $n$-전자 슬래터 행렬식의 효율적 학습을 가능하게 한다. $\epsilon$-정밀도 학습에 대해 $O(n^2 m^7 \log(m/\delta)/\epsilon^2)$의 샘플 복잡도를 확립하며, 정밀도 및 $X$-유사 연산자 추정에 대해 증명 가능한 경계와 수치적 증거를 제공한다.

ABSTRACT

Shadow tomography via classical shadows is a state-of-the-art approach for estimating properties of a quantum state. We present a simplified, combinatorial analysis of a recently proposed instantiation of this approach based on the ensemble of unitaries that are both fermionic Gaussian and Clifford. Using this analysis, we derive a corrected expression for the variance of the estimator. We then show how this leads to efficient estimation protocols for the fidelity with a pure fermionic Gaussian state (provably) and for an $X$-like operator of the form ($|\mathbf 0 angle\langleψ|$ + h.c.) (via numerical evidence). We also construct much smaller ensembles of measurement bases that yield the exact same quantum channel, which may help with compilation. We use these tools to show that an $n$-electron, $m$-mode Slater determinant can be learned to within $ε$ fidelity given $O(n^2 m^7 \log(m / δ) / ε^2)$ samples of the Slater determinant.

연구 동기 및 목표

• 클래식 그림자 기반의 고전적 그림자 기반 접근법을 사용하여 페르미온 상태 추정을 위한 효율적이고 조합론적인 프레임워크를 개발하는 것.
• 페르미온 가우시안-클리포드 집합 내에서 클래식 그림자 추정기의 분산 표현을 보정하는 것.
• 순수한 페르미온 가우시안 상태와의 정밀도 추정을 위한 증명 가능한 효율적인 프rotocols 수립.
• 동일한 양자 채널을 유지하면서도 더 작은 측정 집합을 구성하여 양자 회로 컴파일링을 보조하는 것.
• 에르미온 $n$-전자, $m$-모드 슬래터 행렬식을 $\epsilon$ 정밀도 이내로 학습하는 데 필요한 최적의 샘플 복잡도를 도출하는 것.

제안 방법

• 측정 기반으로 애프라인-매치게이트 집합(즉, 애프라인(클리포드)이자 매치게이트(페르미온 가우시안)인 유니터리)를 사용하여 그림자 톰그래피를 수행한다.
• 일반적인 연산자의 두 번째 모멘트에 대한 보정된 표현을 유도하여, 그림자 노름을 제한하고, 결과적으로 추정기 분산을 제한한다.
• 거스고르딘 원리 정리를 적용하여 추정된 부분 밀도 행렬의 고유값 변화를 제한함으로써 정밀도 유지 보장을 한다.
• 슬래터 행렬식이 1-역행렬(1-RDM)으로 완전히 특징지워짐을 이용하여 학습 문제를 유한한 오차로 1-RDM 추정 문제로 환원한다.
• 추정기의 흔들림이 클 경우에도 강건성을 확보하기 위해 중앙값의 평균 추정기를 사용한다.
• 전체 애프라인-매치게이트 집합과 동일한 양자 채널을 생성하는 최소 측정 집합을 구성하여 회로 깊이와 컴파일 오버헤드를 감소시킨다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 페르미온 가우시안-클리포드 집합 내에서 클래식 그림자 추정기의 분산에 대한 정확한 표현은 무엇인가?
• RQ2 증명 가능한 샘플 복잡도를 갖는 그림자 톰그래피를 통해 학습된 상태와 목표 슬래터 행렬식 사이의 정밀도를 유계로 둘 수 있는가?
• RQ3 효율적인 양자 컴파일링을 위해 동일한 양자 채널을 유지하면서 측정 집합을 최소화할 수 있는가?
• RQ4 에르미온 $n$-전자, $m$-모드 슬래터 행렬식을 $\epsilon$ 정밀도 이내로 학습하는 데 필요한 최적의 샘플 복잡도는 무엇인가?
• RQ5 추정기의 추정값이 무한한 트레이스 노름을 가질 수 있는 비트레이스 클래스 연산자(예: $X$-유사 연산자)를 추정하는 데에도 이 프레임워크를 확장할 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 페르미온 가우시안-클리포드 집합 내에서 일반적인 연산자의 두 번째 모멘트에 대한 보정된 표현을 도출하였으며, 이는 클래식 그림자 추정기의 분산을 더욱 날카롭게 제한한다.
• 에르미온 $n$-전자, $m$-모드 슬래터 행렬식을 $\epsilon$ 정밀도 이내로 학습하는 데 필요한 샘플 복잡도는 $O(n^2 m^7 \log(m/\delta)/\epsilon^2)$이며, 이는 증명 가능한 효율성을 갖는다.
• 수치적 증거는 제안된 프레임워크를 사용하여 $(|\mathbf{0}\rangle\langle\psi| + |\psi\rangle\langle\mathbf{0}|)$ 형태의 $X$-유사 연산자를 추정하는 것이 가능함을 지지한다.
• 저자는 전체 애프라인-매치게이트 집합과 동일한 양자 채널을 생성하는 더 작은 측정 집합을 구성하여 자원 오버헤드를 감소시켰다.
• 거스고르딘 원리 정리를 사용하여 추정된 1-RDM의 고유값 변화를 제한함으로써, 학습된 상태가 목표 상태와 정밀도 측면에서 가까이 유지됨을 보장한다.
• 분석 결과, 정밀도 추정기의 그림자 노름이 유계임을 입증하여, 유도된 오차 범위 하에서 샘플 평균 추정기를 사용할 수 있음을 보여준다.