[논문 리뷰] Fewer runs than word length

Maxime Crochemore, Robert Mercaş|arXiv (Cornell University)|2014. 12. 15.

Algorithms and Data Compression참고 문헌 15인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 어휘 순서를 사용하여 각 런(run)에 고유한 경계 없는 라이든 루트 접미사를 할당함으로써 길이 $ n $ 인 단어에서 런의 수가 $ n $ 보다 엄격히 작다는 새로운 증명을 제시한다. 주요 기여는 고유한 접미사 할당에 기반한 조합론적 추론을 통해 상한을 확립한 것으로, 런이 단어 길이보다 빈도가 낮다는 추측을 강화한다.

ABSTRACT

The work takes another look at the number of runs that a string might contain and provides an alternative proof for the bound. We also propose another stronger conjecture that states that, for a fixed order on the alphabet, within every factor of a word there are at most as many occurrences of Lyndon roots corresponding to runs in a word as the length of the factor (only first such occurrences for each run are considered).

연구 동기 및 목표

• 길이 $ n $ 인 단어에서 런의 수가 $ n $ 보다 작다는 것을 확인하는 대체적인 조합론적 증명을 제공하는 것.
• 어휘 순서 또는 역어휘 순서에 따라 런과 그 최대 진부분 접미사 사이의 일대일 대응을 설정하는 것.
• 런의 밀도를 런의 주기 루트의 경계 없는 라이든 루트와 제곱에서의 임계 위치와 연결하여 분석하는 것.
• 특히 이진 단어에서 런의 최대 가능 밀도를 조사하는 것.
• 특히 어휘 순서와 역어휘 순서에서의 구간 내 $ \mathrm{Oroot} $'s (라이든 루트 콘 jugate) 수에 대한 경계를 개선하는 것.

제안 방법

• 런이 오른쪽으로 더 큰 문자로 연장 가능한지 여부에 따라 어휘 순서 $ < $ 또는 역어휘 순서 $ \widetilde{<} $ 를 사용하여 각 런에 최대 진부분 접미사를 할당한다.
• 단어의 각 위치 $ k > 0 $ 가 최대 접미사의 시작점이 될 수 있는 경우가 최대 한 번뿐임을 증명하여 단사성(Injectivity)을 확보한다.
• 할당된 접미사가 런의 주기 루트의 경계 없는 콘jugate임을 이용하고, 이는 라이든 단어임을 이용한다.
• 라이든 단어가 자신의 회전 중에서 어휘 순서로 가장 작고 경계가 없음을 이용하여 할당된 접미사의 유일성을 보장한다.
• 이진 단어에 결과를 적용하기 위해 $ \mathrm{Oroot} $'s 를 시작 문자와 순서에 따라 구분하고, 겹침 성질을 이용하여 그 수를 경계한다.
• 레마 13( $ \mathrm{Oroot} $'s 의 겹침 성질)을 적용하여 겹치는 $ \mathrm{Oroot} $'s 는 반드시 포함 관계이거나 분리되어야 하며, 유일한 경우를 제외하고는 길이가 최소 2 이상 다를 것을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 길이 $ n $ 인 단어에서 런의 수가 $ n $ 보다 작다는 추측에 대해 더 단순하거나 다른 증명을 제시할 수 있는가?
• RQ2 런과 그 라이든 루트 콘jugate 사이의 구조적 관계는 무엇이며, 특히 접미사 할당 측면에서 어떻게 설명되는가?
• RQ3 길이 $ \ell $ 인 요소에서 $ \mathrm{Oroot} $'s (라이든 루트 콘jugate)는 최대 몇 개가 발생할 수 있으며, 어떤 구성이 이를 최대화하는가?
• RQ4 $ \mathrm{Oroot} $'s 의 겹침 및 포함 성질이 이진 단어에서의 최대 밀도에 어떤 제약을 끼치는가?
• RQ5 특히 어휘 순서 또는 역어휘 순서에 제한된 경우에, 이진 단어의 구간 내 $ \mathrm{Oroot} $'s 의 수에 대해 더 강한 경계를 설정할 수 있는가?

주요 결과

• 어느 길이 $ n $ 인 단어에서 런의 수는 엄격히 $ n $ 보다 작으며, 최대 접미사에 대한 새로운 단사적 할당을 통해 이를 확인하였다.
• 각 런은 주기 루트의 콘jugate인 경계 없는 라이든 단어와 어휘 순서 또는 역어휘 순서에 의해 유일하게 연결된다.
• 서로 다른 두 런이 같은 시작 위치를 가진 최대 접미사를 할당받을 수 없으며, 이는 단사성과 상한의 증명을 보장한다.
• 이진 단어에서는 길이 $ \ell $ 인 임의의 구간에 동일한 순서(어휘 또는 역어휘)에 따라 할당된 $ \mathrm{Oroot} $'s 가 최대 $ \frac{\ell - 1}{2} $ 개 존재한다.
• 요소에서 $ \mathrm{Oroot} $'s 의 최대 수는 오직 $ a < b $ 인 경우 $ a(ab)^{(\ell-2)/2}b $ 의 형태일 때에만 달성된다 (추측 기반).
• 비유일한 $ \mathrm{Oroot} $'s 의 경우, 그 수는 $ \min\{|w|_{ab}, |w|_{ba}\} $ 로 경계되며, 유일한 런의 경우 최대 한 개의 추가 $ \mathrm{Oroot} $ 가 최대 유일 블록당 존재할 수 있다.