[논문 리뷰] Feynman-Kac formula for Lévy processes with discontinuous killing rate

Kathrin Glau|arXiv (Cornell University)|2015. 02. 26.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 23인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 비정상적인 Lévy 과정과 불연속 살해율을 갖는 포물선 진화 방정식의 변분 해에 대해 엄밀한 Feynman-Kac 표현을 수립한다. Sobolev-Slobodeckii 공간에서의 약한 해 이론을 활용하고 생성자 기호의 연속성 및 성장 조건을 증명함으로써, 일반화된 하이퍼볼릭 및 정규 역 가우시안 과정을 포함한 Lévy 모델에서의 빠른 결정론적 옵션 가격 설정을 위한 수학적으로 타당한 기반을 제공한다.

ABSTRACT

The challenge to fruitfully merge state-of-the-art techniques from mathematical finance and numerical analysis has inspired researchers to develop fast deterministic option pricing methods. As a result, highly efficient algorithms to compute option prices in Lévy models by solving partial integro differential equations have been developed. In order to provide a solid mathematical foundation for these methods, we derive a Feynman-Kac representation of variational solutions to partial integro differential equations that characterize conditional expectations of functionals of killed time-inhomogeneous Lévy processes. We allow for a wide range of underlying stochastic processes, comprising processes with Brownian part, and a broad class of pure jump processes such as generalized hyperbolic, multivariate normal inverse Gaussian, tempered stable, and $α$-semi stable Lévy processes. By virtue of our mild regularity assumptions as to the killing rate and the initial condition of the partial differential equation, our results provide a rigorous basis for numerous applications, not only in financial mathematics but also in probability theory and relativistic quantum mechanics.

연구 동기 및 목표

• 시간에 따라 변화하는 Lévy 과정과 불연속 살해율을 갖는 조건부 기대값에 대해 수학적으로 엄밀한 Feynman-Kac 표현을 수립하기.
• 살해율과 초기 자료에 대한 최소한의 정규성 조건을 규명하여 확률 과정과 결정론적 부분 적분 미분 방정식(PIDE) 간의 간극을 메우기.
• 특히 점프가 존재하고 비연속 수익 구조를 갖는 경우에 적합한, Lévy 모델에서의 빠른 결정론적 옵션 가격 설정 방법의 이론적 기초를 제공하기.
• 기본적인 Feynman-Kac 프레임워크를 일반 특성을 갖는 Lévy 과정에서 발생하는 국소가 아닌 연산자 및 의사미분 연산자까지 확장하기.
• 변분 해의 존재성 및 유일성을 증명함으로써 Galerkin 스킴이 유도된 PIDE의 수치적 해법에 적용 가능한지 검증하기.

제안 방법

• Sobolev-Slobodeckii 공간에서의 변분 방법을 사용하여 시간에 따라 변화하는 PIDE의 약한 해에 대해 Feynman-Kac 유형의 표현을 유도한다. 이때 살해율은 불연속적이다.
• 관련 이차형식의 강제성과 유계성을 보장하기 위해 Lévy 생성자 기호에 대한 연속성 및 성장 조건을 확립한다.
• Hilbert 공간에서의 포물선 진화 방정식 이론을 적용하여 PIDE의 변분 해의 존재성 및 유일성을 증명한다.
• 푸리에 분석 및 기호의 복소수 영역 확장을 활용하여 생성자의 해석성 및 연속성을 특성화한다.
• 이차형식의 조각별 연속성이 기호의 조각별 연속성을 이끌어내며, 이는 진화 방정식의 잘 정의됨을 보장한다.
• PIDE의 수치적 해법으로 Galerkin 방법을 구현하여 살해율이 옵션 가격에 미치는 영향을 실험적으로 분석한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 시간에 따라 변화하는 Lévy 과정과 불연속 살해율을 갖는 조건부 기대값에 대해 Feynman-Kac 표현이 성립하는 조건은 무엇인가?
• RQ2 살해율이 불연속적이고 생성자가 국소가 아닐 경우, 확률 과정과 PIDE 간의 연결을 어떻게 엄밀하게 수립할 수 있는가?
• RQ3 관련 PIDE의 변분 해의 존재성 및 유일성을 보장하기 위해 살해율과 초기 조건에 대해 필요한 최소한의 정규성 가정은 무엇인가?
• RQ4 금융 파생상품 가격 설정의 맥락에서 PIDE의 해가 조건부 기대값으로 어떻게 해석될 수 있는가?
• RQ5 Lévy 생성자 기호의 성질(예: 연속성, 성장)이 PIDE의 잘 정의됨과 Feynman-Kac 공식의 타당성에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 불연속 살해율을 갖는 PIDE의 변분 해에 대해 엄밀한 Feynman-Kac 표현이 수립되었으며, 이는 전통적인 결과를 비연속적이고 비마르코프적 설정으로 확장한다.
• 살해율과 초기 조건에 대한 온건한 정규성 가정 하에서 Sobolev-Slobodeckii 공간 내 해의 존재성 및 유일성이 증명되었다.
• 생성자 기호에 대한 연속성 및 성장 조건(예: 정규 역 가우시안 또는 온도 조절 안정 과정)이 이차형식의 강제성과 유계성을 보장하는 데 충분함을 보였다.
• 이차형식의 조각별 연속성이 기호의 조각별 연속성을 이끌어내며, 이는 진화 방정식의 잘 정의됨에 있어 필수적이다.
• Galerkin 방법을 성공적으로 적용하여 PIDE의 수치적 해를 구현하였고, 실험적으로 살해율이 옵션 가격에 미치는 영향을 시각화하였다.
• 이 틀은 일반화된 하이퍼볼릭, 다변량 정규 역 가우시안, 온도 조절 안정, α-반정적 안정 과정을 포함한 광범위한 Lévy 과정 클래스를 수용할 수 있다.