[논문 리뷰] Feynman Path Integrals Over Entangled States

A. G. Green, C. Hooley외 2명|arXiv (Cornell University)|2016. 07. 06.

advanced mathematical theories인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 행렬 곱 상태(MPS) 위에서의 새로운 파인만 경로적 분포를 제안하여 준거성의 포함을 가능하게 한다. 시간에 따라 변화하는 변분원리(TDVP)를 통해 양자역학적 동역학을 텐서 네트워크 다양체 위로 투영함으로써, 이론은 탄성된 안장점들을 통해 탈구된 양자临계점과 인스탄톤 유사 효과를 기술하며, 강한 상관관계를 가지는 시스템에 대한 새로운 프레임워크를 제공한다.

ABSTRACT

The saddle points of a conventional Feynman path integral are not entangled, since they comprise a sequence of classical field configurations. We combine insights from field theory and tensor networks by constructing a Feynman path integral over a sequence of matrix product states. The paths that dominate this path integral include some degree of entanglement. This new feature allows several insights and applications: i. A Ginzburg-Landau description of deconfined phase transitions. ii. The emergence of new classical collective variables in states that are not adiabatically continuous with product states. iii. Features that are captured in product-state field theories by proliferation of instantons are encoded in perturbative fluctuations about entangled saddles. We develop a general formalism for such path integrals and a couple of simple examples to illustrate their utility.

연구 동기 및 목표

• 기존의 준거되지 않은 곱 상태에 의존하는 전통적 경로적 분포의 한계를 극복하기 위해, 경로 구성으로 행렬 곱 상태(MPS)를 사용하여 양자 준거성을 포함하는 경로적 분포 형식을 개발하는 것.
• 탄성된 안장점들을 통해 양자 다체계에서 비단조화적으로 연결된 상과 탄성된 고전적 집단 변수를 기술할 수 있도록 하는 것.
• 이전에 인스탄톤 또는 페르미온적 변동으로 기술된 양자 보정 효과를, 곱 상태 구성이 아닌 탄성된 안장점 주위의 변동을 통해 기술하는 장영 이론적 프레임워크를 제공하는 것.
• 텐서 네트워크 방법(DMRG 등)과 파인만의 경로적 분포 형식 간의 다리를 놓고, 변분원리와 경로적 역학을 통합하는 것.

제안 방법

• 각 경로가 텐서 네트워크 다양체 위의 준고전적 궤적에 해당하는, 행렬 곱 상태(MPS)의 순서에 대한 가중치 합으로서의 경로적 분포를 구성한다.
• 시간에 따라 변화하는 변분원리(TDVP)를 사용하여 주요 안장점 경로를 결정하며, 이는 전체 양자 해밀토니안의 진동을 MPS 다양체 위로 투영한다.
• TDVP 방정식에서 유도된 동역학 항과 기하 위상으로부터 구성된 경로적 분포의 작용을 MPS 매개변수의 형태로 기술한다.
• 안장점 주위의 변동 부문에서 이차 해밀토니안을 대각화하기 위해 보손화와 보골리우보 변환을 구현하며, 이로써 분산 관계를 도출한다.
• 보손의 교환 관계를 유지하고 해밀토니안을 단위행렬과 대각행렬 U, V를 사용한 단위변환으로 대각화하기 위해 MPS 전이행렬(M1, M2)에 대한 조건을 유도한다.
• 효과적인 저에너지 이론을 변동 부문에서 횡방향 자기장이 있는 이징 모형으로 매핑하며, 이때 결합 상수는 질서 매개변수에 의해 조절된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 기존의 곱 상태 기반 경로적 분포를 일반화하기 위해, 행렬 곱 상태와 같은 준거 상태 위에서 파인만 경로적 분포를 구성할 수 있는가?
• RQ2 경로적 분포에서의 탄성된 안장점은 곱 상태 근사에서 접근할 수 없는 탄성된 고전적 집단 변수를 어떻게 드러내는가?
• RQ3 이전에 인스탄톤 확산 또는 페르미온적 변동으로 기술된 양자 보정 효과가, 탄성된 안장점 주위의 변동에 어떻게 포함될 수 있는가?
• RQ4 경로적 분포 프레임워크에 준거성을 포함시키면 탈구된 양자 임계점의 기술이 얼마나 향상되는가?

주요 결과

• 탄성된 경로적 분포의 주요 안장점은 MPS 다양체 위에서의 시간에 따라 변화하는 변분원리(TDVP)에 해당하며, 계산적으로 효율적이고 동시에 준거된 준고전 역학을 도출한다.
• 탄성된 안장점을 통해 탄성된 질서 매개변수를 포착함으로써, 탈구된 양자 임계점에 대한 진지그부르-랜드외르 유형의 기술이 가능해진다.
• 탄성된 안장점 주위의 변동은 이전에 곱 상태 장이론에서 인스탄톤 확산으로 기인된 효과를 포함하며, 이제는 페르미온적 양자 보정으로 재해석된다.
• 저에너지 모드의 분산은 ωₗ ∝ √[(1−λ)(1+nˣ)+λ(nᶻ)²][(1−λ)(1+nˣ)+(1−λ)(nᶻ)²]/nᶻ 로 유도되며, 질서 매개변수 nᶻ에 비선형적으로 의존함을 보여준다.
• 제로점 에너지는 −1/♯ J₂ 항으로 수정되며, 보골리우보 변환을 통해 효과적 해밀토니안은 대각화되어 스핀파 이론과 일치하는 스펙트럼을 도출한다.
• MPS 전이행렬에 대한 제약 조건을 통해 보손의 교환 관계를 유지함으로써, 유니타리성과 기초 장이론과의 일致성을 확보한다.