[논문 리뷰] FFT, FMM, or Multigrid? A comparative study of state-of-the-art Poisson solvers in the unit cube

Amir Gholami, Dhairya Malhotra외 2명|arXiv (Cornell University)|2014. 08. 27.

Spacecraft and Cryogenic Technologies인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 대규모 HPC 시스템에서 단위 입방체 내에서 푸아송 방정식을 해결하기 위해 FFT, FMM, GMG, AMG를 벤치마킹한다. 매끄러운 소스 함수와 균일한 해상도가 요구될 경우 FFT가 뛰어난 성능을 보이지만, 국소화된 특징이 있는 경우 FMM과 GMG가 FFT를 능가하며, 이러한 경우 FMM과 GMG는 유사한 성능을 보인다.

ABSTRACT

From molecular dynamics and quantum chemistry, to plasma physics and computational astrophysics, Poisson solvers in the unit cube are used in many applications in computational science and engineering. In this work, we benchmark and discuss the performance of the scalable methods for the Poisson problem which are used widely in practice: the Fast Fourier Transform (FFT), the Fast Multipole Method (FMM), the geometric multigrid (GMG) and algebraic multigrid (AMG). All but the AMG code are developed in our group. The GMG and FMM are novel parallel schemes using high-order approximation schemes for Poisson problems with continuous forcing functions (the source or right-hand side). Our FFT code is based on the FFTW for single node parallelism. The AMG code is from the Trilinos library from the Sandia National Laboratory. We examine and report results for weak scaling, strong scaling, and time to solution for uniform and highly refined grids. We present results on the Stampede system at the Texas Advanced Computing Center and on the Titan system at the Oak Ridge National Laboratory. In our largest test case, we solved a problem with 600 billion unknowns on 229,379 cores of Titan. Overall, all methods scale quite well to these problem sizes. We have tested all of the methods with different source functions (the right hand side in the Poisson problem). Our results indicate that FFT is the method of choice for smooth source functions that require uniform resolution. However, FFT loses its performance advantage when the source function has highly localized features like internal sharp layers. FMM and GMG considerably outperform FFT for those cases. The distinction between FMM and GMG is less clear.

연구 동기 및 목표

• 최신의 푸아송 솔버—FFT, FMM, GMG, AMG—의 성능을 대규모 HPC 아키텍처에서 평가하고 비교하기.
• 특히 매끄럽고 균일한 해상도가 요구되는 소스 함수 특성과 국소화된 특징이 있는 경우에 최적의 솔버를 결정하기.
• 현대 슈퍼컴퓨터에서 균일하고 매우 세밀한 격자에서 약한 스케일링 및 강한 스케일링 행동을 평가하기.
• 문제 유형과 하드웨어 제약 조건에 따라 계산 과학자들이 솔버를 선택하는 데 실질적인 통찰을 제공하기.

제안 방법

• 단위 입방체 내 연속적인 강제 함수에 대해 고정밀도를 갖춘 새로운 병렬 FMM 기법을 구현하였다.
• 병렬 다중 격자 순환과 고차 수준의 보간/제약 연산자를 갖춘 고차 다중 격자(GMG) 솔버를 개발하였다.
• 단일 노드에서의 FFT 병렬 처리를 위해 FFTW를 사용하였으며, 최적화된 변환 커널을 활용하였다.
• 비교를 위해 Trilinos 기반의 AMG 솔버를 통합하였으며, 안정적인 대수적 다중 격자 프레임워크를 사용하였다.
• Stampede와 Titan 시스템에서 균일하고 매우 세밀한 격자를 사용하여 벤치마크를 수행하였다.
• 다양한 문제 크기와 코어 수에서 약한 스케일링, 강한 스케일링, 그리고 솔루션 도달 시간을 측정하였다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 현대 슈퍼컴퓨터에서 단위 입방체 내 푸아송 문제에 대해 FFT, FMM, GMG, AMG의 약한 스케일링 및 강한 스케일링 성능은 어떻게 되는가?
• RQ2 균일한 해상도가 요구되는 매끄러운 소스 함수에 대해 가장 낮은 솔루션 도달 시간을 달성하는 솔버는 무엇인가?
• RQ3 예를 들어 날카운 내부 계면이 있는 경우, 국소화된 특징이 소스 함수에 영향을 주는 각 솔버의 성능에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 비매끄럽거나 국소화된 소스 함수를 갖는 푸아송 문제를 해결할 때 FMM와 GMG의 상대적 성능은 어떠한가?

주요 결과

• 균일한 해상도가 요구되는 매끄러운 소스 함수에 대해 FFT가 가장 뛰어난 성능을 보이며, 이러한 경우 FMM, GMG, AMG를 모두 능가한다.
• 내부의 날카운 계면 등 매우 국소화된 특징이 있는 소스 함수의 경우, FFT는 성능 우위를 잃고 FMM과 GMG에 뒤지게 된다.
• 국소화된 특징이 있는 문제에 대해 FMM과 GMG는 유사한 성능을 보이며, 어느 한 방법이 항상 다른 방법을 압도하지는 않는다.
• 모든 네 가지 방법이 큰 문제 크기에 대해 잘 스케일링되며, Titan 시스템의 229,379개 코어에서 6000억 개의 미지수 문제를 해결하는 최대 테스트 케이스를 성공적으로 수행하였다.
• 소스가 매끄럽고 균일하게 해상화될 경우, FFT의 솔루션 도달 시간은 FMM과 GMG보다 상당히 낮다.
• 소스 함수의 국소화된 특징의 복잡성이 증가할수록 FFT와 다른 방법들 사이의 성능 격렬이 커진다.