[논문 리뷰] FHCP Challenge Set: The First Set of Structurally Difficult Instances of the Hamiltonian Cycle Problem

Michael Haythorpe|arXiv (Cornell University)|2019. 02. 27.

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한 줄 요약

FHCP 챌린지 세트는 크기 외적인 구조적 난이도로 인해 히ュ리스틱 솔버를 시험할 수 있도록 설계된 1001개의 구조적으로 어려운 해밀턴 순환 문제 인스턴스를 제공한다. 수학 문헌에서 유래한 그래프, 특별히 고안된 어려운 인스턴스, 다른 NP 문제에서 변환된 그래프, 하이브리드 그래프를 포함하며, 가장 어려운 인스턴스들은 캄파놀로지 문제에서 유래되었고, 1년간의 경쟁 후 16개만이 해결되지 못했다. 최종 승자는 코헨과 쿠데르가 985개의 인스턴스를 해결하여 달성했다.

ABSTRACT

The FHCP Challenge Set, comprising of 1001 instances of Hamiltonian cycle problem, is introduced. This set is the first to contain instances of Hamiltonian cycle problem for which the primary difficulty is the underlying graph structure, rather than simply size. A summary of the kinds of graphs contained in the FHCP Challenge Set is given. A discussion of the results of the FHCP Challenge, a year-long competition to solve all instances of the FHCP Challenge Set first announced at the 59th Annual Meeting for the Australian Mathematical Society, is also included.

연구 동기 및 목표

• 크기 외적인 그래프 구조로 인해 어려운 해밀턴 순환 문제 인스턴스로 구성된 첫 번째 벤치마크 세트를 만드는 것.
• 히ュ리스틱 평가를 위한 표준화되고 구조적으로 도전적인 HCP 인스턴스의 부족을 해결하는 것.
• 기존의 해밀턴성에 대한 지식이 있음에도 불구하고 일반적인 HCP 솔버가 저항하는 인스턴스를 식별하고 수집하는 것.
• 이러한 어려운 인스턴스에서 HCP 히ュ리스틱의 성능을 테스트하고 비교하기 위해 1년간의 챌린지를 개최하는 것.
• 향후 HCP 알고리즘의 벤치마크를 위해 공개 가능한 자원을 제공하는 것.

제안 방법

• 일반화된 페터스엔 그래프 GP(n,2)를 포함한 알려진 어려운 그래프 가족에서 인스턴스를 생성하며, 여기서 n ≡ 3 mod 6 이면 정확히 세 개의 해밀턴 순환을 가짐이 알려져 있다.
• 3-정규 그래프에 간선을 추가하여 유일하게 해밀턴 순환을 가지는 그래프를 생성함으로써, 지수적 수의 HCs를 가지지만 히ュ리스틱에 저항하는 구조적 복잡성을 가진 인스턴스를 만든다.
• 다른 NP-완전 문제에서의 인스턴스—예를 들어 n-크기 퀸 문제, 독립 집합, 인stant 인스탄티얼, 유니움—을 HCP 인스턴스로 변환하며, 크기 증가를 최소화한다.
• 다양한 어려운 인스턴스를 조합하여 하이브리드 그래프를 생성함으로써, 솔버가 구성 요소를 식별하고 분해해야 하는 요구를 부과한다.
• 랜덤 정점 재라벨링을 적용하여 구조적 패턴을 은폐하고 히ュ리스틱의 간편한 접근을 방지한다.
• 세 가지 주요 HCP 솔버인 Concorde, LKH, Snakes and Ladders Heuristic를 사용해 후보 인스턴스를 평가하며, 최소 두 개의 알고리즘으로도 해결되지 않는 인스턴스만을 선별한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 크기 외적인 요소에 따라 최신 히ュ리스틱에 어려움을 주는 그래프의 어떤 구조적 특성이 존재하는가?
• RQ2 기타 NP-완전 문제에서 유도된 인스턴스는 해밀턴성이 알려져 있음에도 불구하고 구조적으로 도전적인 HCP 인스턴스를 생성할 수 있는가?
• RQ3 다양한 어려운 구성 요소로 이루어진 하이브리드 그래프는 개별 인스턴스에 비해 기존의 HCP 솔버에 어떤 방식으로 도전하는가?
• RQ4 어떤 구조적 특성이 해밀턴 순환을 효율적으로 식별하는 데 일반적인 히ュ리스틱을 방해하는가, 즉 순환 수가 많더라도 말이다?
• RQ5 사전 처리나 그래프 이sov머피즘 탐지 기법을 통해 일반적으로 어려운 HCP 인스턴스를 해결할 수 있는 정도는 어느 정도인가?

주요 결과

• FHCP 챌린지 세트는 1001개의 해밀턴 그래프를 포함하며, 모두 해밀턴성은 알려져 있지만 크기 외적인 구조적 복잡성으로 인해 어려운 인스턴스로 설계되었다.
• 가장 어려운 인스턴스들은 캄파놀로지에서 유래되었으며, 특히 보브 전용 스테드먼 트리플스에서 유래되었고, Sted4(6930개 정점), Sted5(5544개 정점), Sted6(4620개 정점)와 같은 그래프들은 모든 테스트된 히ュ리스틱에 저항하였다.
• 1년간의 챌린지 후 유일하게 해결되지 못한 인스턴스는 16개였으며, 이는 스테드먼 트리플스 세트에서 3개와 이들 중 적어도 하나를 포함하는 13개의 하이브리드 그래프였다.
• 코헨과 쿠데르는 고급 분해 및 구조적 분석 기법을 활용하여 참가자 중 가장 많은 985개의 인스턴스를 해결하였다.
• 시한과 일반화된 페터스엔 그래프 GP(n,2)에서 n ≡ 3 mod 6인 경우는 낮은 최대 차수 덕분에 다항 시간 이sov머피즘 탐지로 해결 가능하였다.
• n-크기 퀸 문제, 독립 집합, 유니움 퍼즐에서 유도된 인스턴스들은 충분히 어려워서 포함되었으며, 이는 다른 NP 문제에서의 변환도 어려운 HCP 인스턴스를 생성할 수 있음을 시사한다.