[논문 리뷰] FI_W-modules and constraints on classical Weyl group characters

J. Wilson|arXiv (Cornell University)|2015. 03. 30.

Advanced Combinatorial Mathematics참고 문헌 44인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 고전적 웨일 군(대칭군, 초입방체군, 짝수부호군)의 표현 수열을 연구하기 위해 FI_W-모듈을 도입한다. 특성 0에서 유한 생성된 FI_W-모듈이 충분히 큰 n에 대해 n에 독립적인 문자 다항식을 가짐을 증명한다. 이는 차원의 다항식 성장과 부호-순환 수 카운팅 함수를 통한 문자의 균일한 기술을 의미하며, 이는 이전의 대칭군 결과를 유형 B/C 및 D로 확장한다.

ABSTRACT

In this paper we study the characters of sequences of representations of any of the three families of classical Weyl groups W_n: the symmetric groups, the signed permutation groups (hyperoctahedral groups), or the even-signed permutation groups. Our results extend work of Church, Ellenberg, Farb, and Nagpal on the symmetric groups. We use the concept of an FI_W-module, an algebraic object that encodes the data of a sequence of W_n-representations with maps between them, defined in the author's recent work ArXiv:1309.3817. We show that if a sequence {V_n} of W_n-representations has the structure of a finitely generated FI_W-module, then there are substantial constraints on the growth of the sequence and the structure of the characters: for n large, the dimension of V_n is equal to a polynomial in n, and the characters of V_n are given by a character polynomial in signed-cycle-counting class functions, independent of n. We determine bounds the degrees of these polynomials. We continue to develop the theory of FI_W-modules, and we apply this theory to obtain new results about a number of sequences associated to the classical Weyl groups: the cohomology of complements of classical Coxeter hyperplane arrangements, and the cohomology of the pure string motion groups (the groups of symmetric automorphisms of the free group).

연구 동기 및 목표

• 대칭군에서의 FI-모듈 이론을 고전적 웨일 군 유형 B/C 및 D로 확장하기 위해.
• 특성 0에서 유한 생성된 FI_W-모듈이 충분히 큰 n에 대해 n에 독립적인 문자 다항식을 가짐을 확립하기 위해.
• 이러한 표현의 차원이 임의의 체 위에서도 n에 대해 다항식적으로 성장함을 증명하기 위해.
• 더 강력한 대칭성을 지닌 하위 클래스인 FI_W#-모듈의 이론을 개발하여 더 강력한 구조적 제약을 이끌어내기 위해.
• 이 프레임워크를 초평면 보완의 코homology 수열과 순수 스트링 운동 군에 적용하기 위해.

제안 방법

• W_n-표현 수열과 호환되는 사상들을 포함하는 대수적 구조로 FI_W-모듈을 정의하기 위해.
• 표현 M_W(U)의 유도 이론을 사용하여 FI_W-모듈를 분류하고 그 문자 다항식을 분석하기 위해.
• 충분히 큰 n에 대해 V_n의 문자가 부호-순환 수 세기 함수에 대한 문자 다항식으로 주어지며, 이 다항식의 차수는 유한 생성 차수에 의해 유계임을 증명하기 위해.
• CEFN14 결과를 유형 B/C 및 D로 일반화하여 임의의 체 위에서 다항식 차원 성장을 확립하기 위해.
• 추가 대칭성을 지닌 보다 정교한 구조로 FI_W#-모듈을 도입하여 표현 분해에 대한 더 강력한 제약을 가능하게 하기 위해.
• 프레임워크를 초평면 보완 M_W(n)의 코homology 및 순수 스트링 운동 군 PΣ_n의 문자 다항식을 계산하는 데 적용하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유한 생성된 FI_W-모듈이 큰 n에 대해 그 표현 V_n의 문자에 어떤 제약을 끼치는가?
• RQ2 임의의 체 위에서 유한 생성된 FI_W-모듈의 V_n 차원이 다항식적으로 성장할 수 있는가?
• RQ3 유형 B/C 및 D의 문자 다항식은 알려진 유형 A(대칭군) 결과를 어떻게 일반화하는가?
• RQ4 고전적 코xeter 초평면 배치의 보완의 코homology는 FI_W-모듈로서 어떤 구조를 가지는가?
• RQ5 FI_W#-모듈은 FI_W-모듈의 구조를 어떻게 정교화하고 표현 분해에 대해 더 강력한 제약을 이끌어내는가?

주요 결과

• 특성 0에서 유한 생성된 임의의 FI_W-모듈에 대해, 모든 σ ∈ W_n 및 충분히 큰 모든 n에 대해 문자 χ_V_n(σ)는 차수 최대 d인 문자 다항식 F_V로 주어지며, 이는 n에 독립적이다.
• 모든 충분히 큰 n에 대해 dim(V_n)은 n에 대한 다항식과 같으며, 이 다항식의 차수는 유한 생성 차수 d에 의해 유계이다.
• 이러한 차원의 다항식 성장은 특성 0 외의 임의의 체에서도 성립하며, 이는 정리 4.20에 의해 입증되었다.
• H^2(M_BC(•), ℂ)의 문자 다항식은 명시적으로 3(X_1 선택 2) + 3(Y_1 선택 2) - X_1Y_1 + 3X_2 - Y_2 + 14(X_1 선택 3) + 2(X_1 선택 2)Y_1 + ... 로 계산되었다.
• 문제 5.11에서 제기된 linewise, H^m(M_W(•), ℂ)의 M_W(U)로의 표현 분해는 문자 다항식을 통해 계산 가능하다.
• FI_W#-모듈은 V_n의 표현 분해에 대해 더 강력한 구조적 제약을 가능하게 하여, 표준 FI_W-모듈보다 더 정교한 분석이 가능하다.