[논문 리뷰] Fibonacci and Lucas Numbers Associated with Brocard-Ramanujan Equation

Prapanpong Pongsriiam|arXiv (Cornell University)|2015. 09. 25.

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한 줄 요약

이 논문은 피보나치 수와 루카스 수의 성질, 원시 약수, 바인에의 공식을 이용하여 $F_{n_1}F_{n_2}\cdots F_{n_k} \pm 1 = F_m^2$, $L_{n_1}L_{n_2}\cdots L_{n_k} \pm 1 = L_m^2$ 및 혼합 변형을 포함한 디오판틴 방정식을 해결한다. 주요 결과는 모든 해를 완전히 분류한 것으로, 무한한 해의 가족과 유한한 수의 산발적 사례를 포함하며, 마르케스와 수잘라이의 이전 연구를 확장한다.

ABSTRACT

We explicitly solve the diophantine equations of the form $$ A_{n_1}A_{n_2}\cdots A_{n_k}\pm 1 = B_m^2 $$ where $(A_n)_{n\geq 0}$ and $(B_m)_{m\geq 0}$ are either the Fibonacci sequence or Lucas sequence. This extends the result of D. Marques (2011) and L. Szalay (2012) concerning a variant of Brocard-Ramanujan equation. This is a manuscript of the article published in Communications of the Korean Mathematical Society, 32(3) (2017), pp. 511-522

연구 동기 및 목표

• 계승 대신 피보나치 수와 루카스 수의 곱으로 브로카드-라마누잔 문제를 확장하기 위해.
• 마르케스와 수잘라이의 이전 연구에서 피보나치-루카스 방정식 변형의 해에 대한 정확성 오류를 해결하기 위해.
• 피보나치 수 또는 루카스 수열인 $A_n$과 $B_m$에 대해 $A_{n_1}A_{n_2}\cdots A_{n_k} \pm 1 = B_m^2$ 형태의 방정식에 대한 모든 해를 완전히 분류하기 위해.
• 수잘라이의 연구에서 생략된 해 $L_0L_3 + 1 = L_2^2$ 를 보완하기 위해.

제안 방법

• 카마ichel의 원시 약수 정리를 활용하여 피보나치 수와 루카스 수의 약수 성질을 분석한다.
• 바인에의 공식과 항등식 $F_{m-k}F_{m+k} = F_m^2 + (-1)^{m-k+1}F_k^2$ 를 적용하여 방정식을 변형하고 단순화한다.
• m의 홀짝성에 따라 경우를 나누어 $\pm 1$ 사례를 별도로 다룬다.
• 정리 1을 통한 재귀적 감소를 이용하여 큰 해를 제거하고 유한한 경우로 축소한다.
• 피보나치 및 루카스 항등식에 관한 보조정리를 적용하여 약수 성질이 알려진 항의 곱으로 방정식을 재작성한다.
• 큰 해를 제거한 후 $m \leq 13$ 인 작은 경우를 직접 계산으로 확인한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비음수 정수 $n_1 \leq \cdots \leq n_k$ 와 $m \geq 0$ 에 대해 $F_{n_1}F_{n_2}\cdots F_{n_k} \pm 1 = F_m^2$ 의 모든 해는 무엇인가?
• RQ2 동일한 조건 하에 $L_{n_1}L_{n_2}\cdots L_{n_k} \pm 1 = L_m^2$ 의 모든 해는 무엇인가?
• RQ3 예를 들어 $F_{n_1}\cdots F_{n_k} \pm 1 = L_m^2$ 또는 $L_{n_1}\cdots L_{n_k} \pm 1 = F_m^2$ 와 같은 혼합형 방정식에 해가 존재하는가?
• RQ4 해 $L_0L_3 + 1 = L_2^2$ 는 수잘라이의 이전 연구에서 루카스 수의 곱에 대한 생략을 시정하는가?
• RQ5 비잔영 또는 산발적 사례 외에 무한한 해의 가족이 존재하는가?

주요 결과

• 모든 해가 $F_{n_1}F_{n_2}\cdots F_{n_k} - 1 = F_m^2$ 에 대해 분류되었다: $m = 0,1,2$ 에서는 자명한 해가 존재하며, $m \geq 4$ 에 대해 무한한 가족 $F_{m-\delta}F_{m+\delta} - 1 = F_m^2$ 가 존재한다. 여기서 $\delta = 1$ 이면 $m$ 이 홀수일 때, $\delta = 2$ 이면 $m$ 이 짝수일 때이다.
• 모든 해가 $F_{n_1}F_{n_2}\cdots F_{n_k} + 1 = F_m^2$ 에 대해 분류되었다: 자명한 해로 $F_0 + 1 = F_1^2$ 와 $F_4 + 1 = F_3^2$ 가 있으며, $m \geq 5$ 에 대해 무한한 가족 $F_{m-\varepsilon}F_{m+\varepsilon} + 1 = F_m^2$ 가 존재한다. 여기서 $\varepsilon = 1$ 이면 $m$ 이 짝수일 때, $\varepsilon = 2$ 이면 $m$ 이 홀수일 때이다.
• $L_{n_1}L_{n_2}\cdots L_{n_k} + 1 = L_m^2$ 는 해 $L_0L_3 + 1 = L_2^2$ 를 가지며, 이는 수잘라이의 이전 연구에서 생략된 사례를 시정한다.
• $L_{n_1}L_{n_2}\cdots L_{n_k} \pm 1 = L_m^2$ 에 대해 작은 경우 외에 해는 존재하지 않으며, $L_{n_1}\cdots L_{n_k} + 1 = L_m^2$ 에 대한 유일한 해는 $L_0L_3 + 1 = L_2^2$ 이다.
• 예를 들어 $F_{n_1}\cdots F_{n_k} \pm 1 = L_m^2$ 또는 $L_{n_1}\cdots L_{n_k} \pm 1 = F_m^2$ 와 같은 혼합형 방정식은 $m \geq 14$ 에서는 해가 없으며, 작은 해는 유한하게 존재한다.
• 원시 약수와 경우 분석을 통한 증명 방법은 모든 방정식을 $m \leq 13$ 인 유한한 확인으로 감소시켜 해 집합의 완전성을 확인한다.