[논문 리뷰] Fibonacci numbers modulo cubes of primes

Zhi‐Wei Sun|arXiv (Cornell University)|2009. 11. 16.

Advanced Mathematical Theories and Applications참고 문헌 20인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 소수 거듭제곱 모듈로 $p^3$ 및 $p^2$에서 형식 $\sum_{k=0}^{(p^a-1)/2} \frac{\binom{2k}{k}}{m^k}$의 합에 대해 새로운 합동식을 수립하며, 루카스 수열과 레이지드 색소르와 연결한다. 이는 피보나치 수의 소수 거듭제곱 모듈로에 대한 이전 결과를 확장하고, 파르마의 마지막 정리 및 $p$-진 맥락에서 카탈란 수를 연구하는 데 새로운 도구를 제공한다.

ABSTRACT

Let $p$ be an odd prime. It is well known that $F_{p-(\frac p5)}\equiv 0\pmod{p}$, where $\{F_n\}_{n\ge0}$ is the Fibonacci sequence and $(-)$ is the Jacobi symbol. In this paper we show that if $p ot=5$ then we may determine $F_{p-(\frac p5)}$ mod $p^3$ in the following way: $$\sum_{k=0}^{(p-1)/2}\frac{\binom{2k}k}{(-16)^k}\equiv\left(\frac{p}5 ight)\left(1+\frac{F_{p-(\frac {p}5)}}2 ight)\pmod{p^3}.$$ We also use Lucas quotients to determine $\sum_{k=0}^{(p-1)/2}\binom{2k}k/m^k$ modulo $p^2$ for any integer $m ot\equiv0\pmod{p}$; in particular, we obtain $$\sum_{k=0}^{(p-1)/2}\frac{\binom{2k}k}{16^k}\equiv\left(\frac3{p} ight)\pmod{p^2}.$$ In addition, we pose three conjectures for further research.

연구 동기 및 목표

• 중앙 이항계수의 가중 합이 $p^3$ 및 $p^2$ 모듈로에서 명시적인 합동식을 유도하기 위해.
• 이 합을 루카스 수열과 피보나치 유사 재귀적 구조와 연결하기 위해.
• 피보나치 몫과 월-선-선 소수에 관한 알려진 결과를 더 높은 소수 거듭제곱 모듈로로 일반화하기 위해.
• 카탈란 수와 중심 이항계수와 관련된 조합합의 $p$-진 행동을 연구하기 위한 새로운 대수적 도구를 제공하기 위해.

제안 방법

• 중앙 이항계수의 성질과 루카스 정리를 사용하여 $\sum_{k=0}^{(p^a-1)/2} \frac{\binom{2k}{k}}{(-16)^k}$에 대한 주요 합동식을 $p^3$ 모듈로에서 유도한다.
• 루카스 정리를 적용하여 $p$ 및 $p^2$ 모듈로에서의 합을 줄이기 위해 $p$-진 전개에서의 이항계수 축소를 분석한다.
• 특히 $u_n(4,m)$를 사용하여 루카스 수열 $u_n(A,B)$ 및 $v_n(A,B)$의 이론을 활용하여 합을 대수적 수론 함수로 표현한다.
• 제곱 잔여성과 합동식 내의 부호 행동을 제어하기 위해 레이지드 색소르와 야코비 색소르를 사용한다.
• 카탈란 수 $C_k = \frac{1}{k+1}\binom{2k}{k}$와 그 생성함수에 관한 알려진 항등식을 적용하여 $\binom{2k}{k}/m^k$의 합을 $C_k/m^k$의 합과 연결한다.
• 오일러 정리와 $p$-진 상승 기법을 사용하여 $m^{p^a - 1} \equiv m^{p-1} \pmod{p^2}$를 줄여 지수항을 단순화한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 홀수 소수 $p$와 양의 정수 $a$에 대해 형식 $\sum_{k=0}^{(p^a-1)/2} \frac{\binom{2k}{k}}{m^k}$는 $p^3$ 모듈로에서 어떻게 특성화될 수 있는가?
• RQ2 이러한 합과 루카스 수열 $u_n(4,m)$ 사이의 관계는 무엇이며, 특히 $p$-진 합동식의 맥락에서 어떻게 나타나는가?
• RQ3 이러한 합을 사용하여 피보나치 유사 몫의 $p$-진 값매김을 더 높은 소수 거듭제곱 모듈로로 확장할 수 있는가?
• RQ4 레이지드 색소르 $\left(\frac{m(m-4)}{p^a}\right)$ 및 $\left(\frac{-m}{p}\right)$는 이러한 합동식의 구조를 어떻게 제어하는가?
• RQ5 카탈란 수는 중심 이항계수 합의 $p^2$ 모듈로에서의 합동식을 어떻게 정밀화하는가?

주요 결과

• 홀수 소수 $p \neq 5$에 대해 합 $\sum_{k=0}^{(p^a-1)/2} \frac{\binom{2k}{k}}{(-16)^k} \equiv \left(\frac{p^a}{5}\right)\left(1 + \frac{F_{p^a - (\frac{p^a}{5})}}{2}\right) \pmod{p^3}$가 성립하며, 이는 $p^3$ 모듈로에서 피보나치 수와 중심 이항계수 합을 연결한다.
• $m = 8$일 때 합 $\sum_{k=0}^{(p^a-1)/2} \frac{\binom{2k}{k}}{8^k} \equiv \left(\frac{2}{p^a}\right) \pmod{p^2}$가 성립하며, 이는 제곱상호법칙과 깔끔하게 연결된 합동식을 보여준다.
• $m = 16$일 때 합 $\sum_{k=0}^{(p^a-1)/2} \frac{\binom{2k}{k}}{16^k} \equiv \left(\frac{3}{p^a}\right) \pmod{p^2}$가 성립하며, 이는 직접적으로 레이지드 색소르 $\left(\frac{3}{p^a}\right)$와 연결됨을 보여준다.
• 합 $\sum_{k=0}^{(p-1)/2} \frac{C_k}{16^k} \equiv \frac{4-m}{2} \sum_{k=0}^{(p^a-1)/2} \frac{\binom{2k}{k}}{m^k} + \frac{m}{2} - 2p\delta_{a,1}\left(\frac{-m}{p}\right) \pmod{p^2}$는 카탈란 수와 중심 이항계수 합 사이의 변환을 제공한다.
• $p > 3$일 때 합 $\sum_{k=0}^{(p-1)/2} \frac{\binom{2k}{k}}{(2k-1)^2 16^k} \equiv \left(\frac{-1}{p}\right)\frac{3(\frac{p}{3})+1}{4} \pmod{p^2}$가 성립하며, $p \mod 12$에 따라 명시적인 값이 결정되며, 아담추크의 추측을 확인한다.
• 논문은 $\sum_{k=0}^{(p^a-1)/2} \frac{\binom{2k}{k}}{m^k} \equiv \left(\frac{m(m-4)}{p^a}\right) + \left(\frac{-m}{p}\right)\left(\frac{m(m-4)}{p^{a-1}}\right)\bar{m}u_{p-(\frac{4-m}{p})}(4,m) \pmod{p^2}$를 증명하며, 조합합과 루카스 수열 사이의 깊은 연결을 확립한다.