[논문 리뷰] Fibration theorems à la Milnor for differentiable maps with non-isolated singularities

José Luis Cisneros‐Molina, Aurélio Menegon외 2명|arXiv (Cornell University)|2020. 02. 17.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 18인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 비이sov된 특이점을 가진 $C^{\ell}$ 실수 함수에 대해 밀너의 결과와 유사한 피브레이션 정리들을 수립한다. $d$-정규성 조건이 구 위에서 밀너 피브레이션의 존재를 보장함을 증명하며, 목적 공간을 위상동형으로 수정함으로써 판별식을 선형화할 수 있음을 보이고, 그 결과로 얻어진 사상이 $d$-정규성을 만족하면 구 피브레이션이 존재한다. 이는 고립된 임계점이 아닌 경우에도 고전적 결과를 일반화한다.

ABSTRACT

We prove fibration theorems à la Milnor for differentiable real maps with non isolated critical values. We study the situation for maps with linear discriminant, and prove that the concept of d-regularity is the key point for the existence of a Milnor fibration on the sphere. We also explain how one can modify the target space by homeomorphisms to linearize a general discriminant. Whenever the composed map is d-regular one has fibration on the sphere. Plenty of examples are discussed along the text.

연구 동기 및 목표

• 비이sov된 임계집합을 가진 미분 가능 사상으로 밀너의 피브레이션 정리를 확장하여, 임계값이 고립되어 있지 않은 경우를 다루는 것.
• 이러한 사상에 대해 구 위에서 밀너 피브레이션의 존재를 보장하는 핵심 조건으로서 $d$-정규성을 규명하는 것.
• 목적 공간을 위상동형으로 수정함으로써 판별식을 선형화할 수 있으며, 이로 인해 $d$-정규성 조건의 적용이 가능해지는 것을 보이는 것.
• 비이sov된 특이점 존재 조건 하에서 국소적으로 자명한 피브레이션을 구성하는 일반적 프레임워크를 제공하여, 이전의 고립된 임계점 또는 임계값에 대한 결과를 확장하는 것.
• 특정 사상의 가족 $(f,g) = (\sum a_i x_i^p, \sum b_i x_i^q)$을 $d$-정규성과 피브레이션 행동의 예시로 제시하는 것.

제안 방법

• 비이sov된 특이점을 가진 사상에 대해 $d$-정규성을 도입하며, 이는 원점 중심의 작은 구와의 오목성 조건을 통해 정의된다.
• 상대 에흐레스만 피브레이션 정리를 적용하여, 오목성 조건이 만족될 경우 원점 주변의 튜브 위에서 국소적으로 자명한 피브레이션을 확보한다.
• 에흐레스만 접속과 수평 이송을 이용하여, $d$-정규성 하에서 피브레이션의 합성도 피브레이션 성질을 유지함을 증명한다.
• 원점을 통과하는 직선 $\ell$에 대해 실해석적 다양체의 표준 펜슬 $X_\ell = f^{-1}(\ell)$를 구성하여 특이집합 근처의 피브레이션 기하학을 분석한다.
• 목적 공간을 위상동형으로 수정하여 판별식을 선형화함으로써 일반적인 판별식을 선형 판별식으로 변환하고, 이로 인해 $d$-정규성 검증이 가능하도록 한다.
• 부분해석적 집합 이론과 $C^\ell$-사상 이론을 활용하여, 비이sov된 설정에서도 정규성 및 오목성 조건이 유지됨을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비이sov된 임계집합을 가진 $C^\ell$ 사상 $f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^k$ 가 구 위에서 밀너 피브레이션을 가질 수 있는 조건은 무엇인가?
• RQ2 $d$-정규성 개념을 고립된 임계점에서 비이sov된 특이점을 가진 사상으로 어떻게 일반화할 수 있는가?
• RQ3 목적 공간의 위상동형을 통해 사상의 판별식을 선형화할 수 있는가? 이는 피브레이션 구조 분석을 단순화하는 데 기여하는가?
• RQ4 표준 펜슬 $X_\ell = f^{-1}(\ell)$ 이 원점 근처에서 사상 $f$ 의 피브레이션 성질을 결정하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 가족 $(f,g) = (\sum a_i x_i^p, \sum b_i x_i^q)$ 에 대해, $p,q \geq 2$ 이고 계수 $a_i, b_i$ 가 일반적인 경우, 언제 $d$-정규성이 만족되고 언제 구 피브레이션이 존재하는가?

주요 결과

• 비이sov된 임계집합을 가진 $C^\ell$ 사상 $f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^k$ 는 원점 주변의 튜브 위에서 밀너-레 피브레이션을 가질 조건이 오직 원점 중심의 작은 구와의 오목성 조건을 만족할 때이다.
• $d$-정규성은 구 위에서 밀너 피브레이션의 존재에 대해 필수적이고 충분한 조건이며, 이때 사영은 $f/\|f\|$ 로 주어진다.
• 판별식이 선형인 사상의 경우, $d$-정규성은 모든 원점 중심의 작은 구와의 오목성 조건을 보장한다.
• 두 피브레이션의 합성이 피브레이션임을 보장하기 위해서는 해당 에흐레스만 접속이 호환되어야 하는데, 이는 $d$-정규성 조건 하에서 보장된다.
• 계수 $a_i, b_i$ 가 일반적이며 $p,q \geq 2$ 인 사상 가족 $(f,g) = (\sum a_i x_i^p, \sum b_i x_i^q)$ 는 약간의 조건 하에서 $d$-정규성을 만족하며, 이로 인해 구 피브레이션이 보장된다.
• 적절한 위상동형을 목적 공간에 적용함으로써, 일반적인 판별식을 가진 임의의 실수 사상은 선형 판별식을 가진 사상으로 변환되며, $d$-정규성 조건이 만족되면 피브레이션 성질이 유지된다.