[논문 리뷰] Fibrations meromorphes sur certaines varietes de classe canonique triviale

Ekaterina Amerik, Frédéric Campana|arXiv (Cornell University)|2005. 10. 14.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 22인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 단일 캐논리컬 번들과 자명한 Picard 군 ℤ를 가진 복소 프로젝티브 다양체 위의 유리형 분할 구조를 조사하며, 하이퍼카일러 다양체와 차수 >1인 자기 사상에 초점을 맞춘다. 일반적으로 이러한 다양체에서 Picard 군이 ℤ인 경우, 비자명한 분할을 유지하지 않는 유리형 자기 사상이 존재함을 증명하고, 이러한 사상의 동역학이 자리지-밀도성을 띠며, 플롭 이후의 해석적 모델을 통한 분할의 특성화를 제시한다.

ABSTRACT

Motivated by an example, due to Voisin, of a smooth simply-connected projective variety with trivial canonical class and cyclic Picard group, admitting a meromorphic endomorphism of high degree, we study meromorphic fibrations on certain varieties with trivial canonical class. We show (theorem 2.1) that any nontrivial meromorphic fibration of a variety with trivial canonical class and cyclic Picard group is in varieties of general type. Therefore, Voisin's endomorphism cannot preserve a fibration, at least in the generic case. As this example is symplectic, we study meromorphic fibrations on symplectic varieties. In dimension 4 (and in all dimensions modulo minimal model program) we get some results similar to Matsushita's. The main result here is theorem 3.6. We also study the relations between meromorphic endomorphisms and meromorphic fibrations. In particular, we prove that if an endomorphism does not preserve a fibration, then its general iterated orbit is Zariski-dense. We show that some power of an endomorphism preserves the "core" (a natural fibration constructed by the second author), and ask the similar question about the Iitaka fibration.

연구 동기 및 목표

• 자명한 캐논리컬 번들과 Picard 군 ℤ를 가진 다양체에서 차수 >1인 유리형 자기 사상이 비자명한 분할을 유지할 수 있는지 여부를 규명하는 것.
• 유리형 분할과 그 반복에 대한 불변성을 통해 이러한 자기 사상의 동역학을 분석하는 것.
• 일반적인 점의 궤도가 유리형 자기 사상의 반복에 의해 자리지-밀도성을 띠는 조건을 설정하는 것.
• 카우다르 차원이 0인 섬유를 가진 비가역 하이퍼카일러 4-다양체에서의 분할을 플롭 이후의 해석적 모델을 통해 특성화하는 것.
• 비가산 체 위의 함수체로 결과를 확장하여, 유리점의 자리지 밀도성을 증명하는 것.

제안 방법

• 유리형 자기 사상이 유리형 분할을 유지하는 성질과 스타인 분해를 이용하여 궤도의 구조를 분석한다.
• 분할 이론과 비라시오널 기하학을 적용하여, 하이퍼카일러 4-다양체에서 일반 섬유의 카우다르 차원이 0인 분할은 플롭 이후에 해석적 모델을 가짐을 보인다.
• 타원 분할의 단일성과 모듈라성에 기반한 모노드로미를 활용하여, 섬유 위에 작용하는 자기 동형군의 차수를 유계화한다.
• 승법-by-m 사상과 몫 사상의 구성 방법을 통해 유리형 자기 사상과 모듈라 곡선 및 그 유리성과의 관계를 규명한다.
• 특정 N에 대해 모듈라 곡선 X₀(N)의 유리성을 응용하여, 자기 동형군의 차수를 유계화한다.
• 네로-세베르 군 이론과 캐논리컬 번들의 성질을 적용하여, K_X=0 이고 NS(X)≅ℤ인 다양체에서의 분할이 일반 유형이어야 함을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 자명한 캐논리컬 번들과 Picard 군 ℤ를 가진 매끄러운 프로젝티브 다양체에서 차수 >1인 유리형 자기 사상이 비자명한 분할을 유지할 수 있는가?
• RQ2 일반적인 점의 궤도가 유리형 자기 사상의 반복에 의해 자리지-밀도성을 띠는 조건은 무엇인가?
• RQ3 카우다르 차원이 0인 섬유를 가진 비가역 하이퍼카일러 4-다양체에서의 분할은 플롭 이후 해석적 모델을 가질 수 있는가?
• RQ4 비상수 모듈라를 가진 ℙ¹ 위의 타원 분할에서 섬유 위에 작용하는 자기 동형군의 차수에 대해 어떤 유계가 존재하는가?
• RQ5 K_X=0 이고 Pic(X)=ℤ인 다양체에서 차수 >1인 유리형 자기 사상이 존재할 경우, 비가산 함수체 위에서 유리점의 자리지 밀도성이 보장되는가?

주요 결과

• K_X=0 이고 NS(X)≅ℤ인 매끄러운 프로젝티브 다양체 X에 대해, 0<dim(B)<dim(X)인 임의의 유리형 분할 g:X⇢B는 일반 유형이어야 한다.
• Pic(X)=ℤ 조건 하에서, 차수 >1인 유리형 자기 사상 f:X⇢X에 대해 일반 점의 궤도는 X에서 자리지-밀도성을 띤다.
• 카우다르 차원이 0인 섬유를 가진 비가역 하이퍼카일러 4-다양체에서, 임의의 유리형 분할은 단일 플롭 이후에 해석적 모델을 가진다.
• 비상수 타원 분할에서 ℙ¹ 위에 작용하는 자기 동형군의 차수는 210ν 이하로 유계화되며, 여기서 ν는 j:B→ℙ¹의 모듈라 사상의 차수이다.
• 비가산 체 F 위에서, K_X=0, Pic(X)=ℤ, 그리고 차수 >1인 유리형 자기 사상이 존재하는 다양체 X는 X(L)가 X에서 자리지-밀도성을 띠는 유한 확장 L을 가진다.
• ℙ⁵ 안의 매끄러운 쿠빅 4-다양체의 선의 파노 다양체는 가정을 만족하는 구체적 사례를 제공하며, 이 경우 차수 16인 유리형 자기 사상이 존재한다.