[논문 리뷰] Filling in pattern designs for incomplete pairwise comparison matrices: (quasi-)regular graphs with minimal diameter

Sándor Bozóki, Zsombor Szádoczki외 1명|arXiv (Cornell University)|2020. 05. 31.

Multi-Criteria Decision Making참고 문헌 10인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 오차 전파를 줄이기 위해 최소 지름을 갖는 (준)정규 그래프로 비교를 모델링함으로써, 완전하지 않은 상호 비교 행렬(PCMs)에 대한 최적의 패턴 설계를 제안한다. 주어진 n(항목 수)과 k(각 항목당 비교 수)에 대해 최소 지름을 갖는 k-정규 및 준정규 그래프를 규명하여, 선호 순위가 비교 네트워크에서 장거리 경로로 인한 누적 오차에 의해 편향되지 않도록 보장한다.

ABSTRACT

Multicriteria Decision Making problems are important both for individuals and groups. Pairwise comparisons have become popular in the theory and practice of preference modelling and quantification. We focus on decision problems where the set of pairwise comparisons can be chosen, i.e., it is not given a priori. The objective of this paper is to provide recommendations for filling patterns of incomplete pairwise comparison matrices (PCMs) based on their graph representation. Regularity means that each item is compared to others for the same number of times, resulting in a kind of symmetry. A graph on an odd number of vertices is called quasi-regular, if the degree of every vertex is the same odd number, except for one vertex whose degree is larger by one. If there is a pair of items such that their shortest connecting path is very long, the comparison between these two items relies on many intermediate comparisons, and is possibly biased by all of their errors. Such an example was previously found, where the graph generated from the table tennis players' matches included a long shortest path between two vertices (players), and the calculated result appeared to be misleading. If the diameter of the graph of comparisons is low as possible (among the graphs of the same number of edges), we can avoid, or, at least decrease, such cumulated errors. The aim of our research is to find graphs, among regular and quasi-regular ones, with minimal diameter. Both theorists and practitioners can use the results, given in several formats in the appendix: graph, adjacency matrix, list of edges.

연구 동기 및 목표

• 장거리 최단 경로로 인해 발생하는 완전하지 않은 상호 비교 행렬(PCMs)에서의 편향된 선호 순위 문제를 해결하기 위해.
• 비교 그래프의 지름을 줄여 오차 전파를 최소화함으로써 간접 비교가 더 적은 중간 단계에 의존하도록 보장하기 위해.
• 완전한 비교가 불가능한 의사결정 시나리오에서 가장 정보적인 비교 패턴을 선택하기 위한 실용적인 그래프 이론적 권고를 제공하기 위해.
• 각 항목이 동일한 횟수만큼 비교되는 (준)정규 그래프에 초점을 맞춰 비교 구조의 대칭성과 공정성을 확보하기 위해.
• 소규모에서 중간 규모의 n과 k에 대해 최소 지름을 갖는 최적의 그래프를 체계적으로 규명하고 목록화하기 위해, 특히 d=2 및 d=3인 경우에 중점을 두고.

제안 방법

• 정점이 항목을 나타내고 간선이 비교를 나타내는 무방향 그래프로 상호 비교를 모델링한다.
• 그래프 이론 개념을 사용: 정규성(모든 정점의 차수 k), 준정규성(모든 정점의 차수 k이지만 하나의 정점만 차수 k+1), 지름(임의의 두 정점 사이의 최장 최단 경로).
• 주어진 n과 k에 대해 가능한 모든 그래프 중에서 최소 지름을 갖는 (준)정규 그래프를 찾기 위해 조합 최적화 기법을 적용한다.
• 그래프 생성 도구와 기존 데이터베이스(예: House of Graphs)를 활용하여 원하는 성질을 갖는 후보 그래프를 식별하고 검증한다.
• 다양한 형식으로 결과를 표현: 인접 행렬, 간선 목록, Graph6 형식으로 소프트웨어에서 직접 사용 가능한 형태로 제공한다.
• 기존의 문제적 사례(예: 스포츠 데이터에서의 장거리 지름 그래프)와 비교하여 접근 방식을 검증하고 안정성 향상을 입증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 주어진 정점 수 n과 차수 k에 대해, 완전하지 않은 상호 비교 행렬에서 (준)정규 그래프 구조 중 지름을 최소화하는 것은 무엇인가?
• RQ2 장거리 간접 비교로 인한 오차 전파를 줄이기 위해 체계적으로 생성하고 권고할 수 있는 비교 패턴은 어떻게 설계할 수 있는가?
• RQ3 소규모에서 중간 규모의 n에 대해 k-정규 또는 준k-정규 그래프에서 달성 가능한 최소 지름은 얼마이며, 어떤 그래프가 이를 달성하는가?
• RQ4 스타 그래프나 스패닝 트리와 같은 일반적인 패턴과 비교할 때, 제안된 설계는 지름과 정규성 측면에서 어떻게 다를까?
• RQ5 실제 의사결정 소프트웨어에서 사용하기 위해 최소 지름을 갖는 (준)정규 그래프를 효율적으로 생성하고 표현할 수 있는가?

주요 결과

• n=20 및 k=5인 경우, 지름 d=2인 (20,8)-비cayley 전이 그래프가 규명되어 복잡한 구성에서도 최소 지름을 달성할 수 있음을 보여준다.
• 논문은 다양한 n과 k에 대해 지름 d=2 및 d=3인 (준)정규 그래프의 명시적 구성법을 제공하며, 이러한 그래프가 존재하고 체계적으로 생성될 수 있음을 보여준다.
• 그래프의 지름은 오차 전파를 최소화하는 데 핵심적인 요소이다; 지름이 큰 그래프(예: 사이클)는 간접 비교에서 오차가 누적되기 쉬운 경향이 있다.
• 스타 그래프는 지름이 최소(지름 d=2)이지만 정규성이 없기 때문에 정규성 제약 조건 하에서는 최적의 선택이 아니며, 본 논문은 더 나은 대안이 존재함을 보여준다.
• 결과는 인접 행렬, 간선 목록, Graph6 형식 등 여러 형식으로 공개되어 의사결정 지원 시스템에서 즉각적인 구현을 지원한다.
• 연구는 정규성과 낮은 지름이 모두 바람직한 성질임을 확인한다: 비교 빈도의 공정성과 선호 추정의 강건성을 보장한다.