[논문 리뷰] Filtering equations for partially observable diffusion processes with Lipschitz continuous coefficients

Н. В. Крылов|ArXiv.org|2009. 08. 13.

Advanced Mathematical Modeling in Engineering참고 문헌 14인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 계수들이 리프시츠 연속일 때, 부분적으로 관측 가능한 확산 과정에 대한 필터링 밀도의 $L_p$-연속성을, 필터링 방정식을 발산형으로 재구성함으로써 수립한다. 비퇴화성과 리프시츠 조건 하에서, 필터링 밀도가 $H^1_p$에 속함을 증명하여, 공간에서 거의 리프시츠 연속성과 시간에서 $1/2$-홀더 연속성을 확보한다. 이는 계수에 대한 최소한의 정규성 조건에서도 성립한다.

ABSTRACT

We present several results on smoothness in $L_{p}$ sense of filtering densities under the Lipschitz continuity assumption on the coefficients of a partially observable diffusion processes. We obtain them by rewriting in divergence form filtering equation which are usually considered in terms of formally adjoint to operators in nondivergence form.

연구 동기 및 목표

• 계수에 대한 최소한의 정규성 조건 하에서 부분적으로 관측 가능한 확산 과정에 대한 필터링 밀도의 $L_p$-연속성을 수립하는 것.
• 필터링 이론을 사용하지 않고 분석적 방법을 통해 밀도 계수 $\theta\theta^*$에 대한 부드러움 조건이 필요 없도록 하는 것.
• 계수의 리프시츠 연속성 조건 하에서 필터링 밀도 $\pi_t$가 $x$에 대해 거의 리프시츠 연속이고 $t$에 대해 $1/2$-홀더 연속임을 증명하는 것.
• 데이터의 변동에 대해 필터링 방정식의 해가 안정적임을 보이고, $p \geq 2$의 값에 관계없이 동일한 성질을 만족하는 것.
• 경로별 홀더 연속성의 공간적·시간적 정규성을 보장하는 임bedding 결과 수립.

제안 방법

• 스토크라틱 편미분방정식의 분석 도구를 활용하기 위해 필터링 방정식을 발산형으로 재기록하는 것.
• 리프시츠 및 비퇴화 조건을 만족하는 계수를 가진 SPDE에 대해 $\mathbb{H}^1_p$-공간 내의 사전 추정치를 사용하는 것.
• 최대 $L_p$-추정치와 임베딩 정리를 적용하여 시간 및 공간에서 해의 홀더 연속성을 도출하는 것.
• 예측 가능 측도와 $L_p$-노름 수렴을 통한 데이터에 대한 해의 연속적 의존성 확보.
• $p$ 값 간의 $\mathcal{H}^1_p$-공간에서의 해의 유일성을 보장하기 위해 보간 및 임베딩 기법을 사용하는 것.
• 최대 원리 적용을 통해 초기 및 강제항 데이터가 비음수일 경우 필터링 밀도의 비음수성을 보장하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 부분적으로 관측 가능한 확산 과정의 계수에 대해 어떤 최소한의 정규성 조건이 성립할 때 필터링 밀도가 $L_p$에서 부드럽게 나타나는가?
• RQ2 필터링 이론에 의존하지 않고 스토크라틱 편미분방정식 기법만을 사용하여 필터링 밀도의 $L_p$-정규성을 확립할 수 있는가?
• RQ3 리프시츠 연속 계수 조건 하에서 필터링 밀도의 최적 정규성은 시간 및 공간에서 홀더 연속성의 어떤 수준인가?
• RQ4 계수 및 초기 데이터의 변동에 대해 필터링 방정식의 해는 어떻게 행동하는가?
• RQ5 다양한 $L_p$-공간에서 필터링 SPDE의 해는 유일한가? 그리고 양수성을 유지하는가?

주요 결과

• 리프시츠 연속 계수와 비퇴화 조건 하에서, 임의의 $p \geq 2$에 대해 필터링 밀도 $\pi_t$는 $H^1_p$에 속한다.
• 초기 데이터가 충분히 정규적일 경우, $\pi_t(x)$는 $x$에 대해 거의 리프시츠 연속이고 $t$에 대해 $1/2$-홀더 연속이다.
• 데이터의 변동에 대해 필터링 방정식의 해는 안정적이다: $n \to \infty$일 때 $\|u^n - u\|_{\mathbb{H}^1_p(\tau \wedge T)} \to 0$.
• 다양한 $p \geq 2$에 대해 $\mathcal{H}^1_p(\tau)$ 공간 내에서 해는 유일하며, $\mathcal{H}^1_{p_1}(\tau) \cap \mathcal{H}^1_{p_2}(\tau)$에 속한다.
• 임베딩 정리에 의해 경로별 홀더 정규성 도출: $2/p < \alpha < \beta \leq 1$일 때 $E[\|u\|_{C^{\alpha/2 - 1/p}([0,\tau], H^{1-\beta}_p)}]^p \leq NT^{(\beta - \alpha)/p} a^{\beta - 1} I(a)$.
• 만약 $p(1 - \beta) > d$이면, 해는 $E[\sup_x |u(\cdot,x)|_{C^{\alpha/2 - 1/p}}]^p \leq NT^{(\beta - \alpha)/p} a^{\beta - 1} I(a)$를 만족하여 공간적 홀더 연속성을 뜻한다.